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Hey Leute,
hierbei handelt es sich um die Beziehung der Lage von zwei Geradenshar.
Die Geradenschar ist gegeben:
[mm] g_t: \vec{x}= \pmat{ t \\ 1 \\ 0}+ [/mm] r [mm] \pmat{-t \\ 1 \\ t } [/mm]
[mm] h_t: \vec{x}= \pmat{ 0 \\ -1 \\ t}+ [/mm] r [mm] \pmat{1 \\ t-2 \\ -1}
[/mm]
Mein erster Schritt war zu prüfen ob die beiden Geraden in einer Ebene liegen:
Dafür hab ich den Verbindungsvektor ausgerechnet. Mit dem Verbindungsvektor und den Richtungsvektoren hab ich die Determinante ausgerechnet. Ich erhalte das Ergebnis 0=0. Dieses ergebnis habe ich so interpretiert: Für jedes beliebige t sind die beiden Geraden linear unabhängig. Das bedeutet, dass sie entweder parallel, identisch oder einen Schnittpunkt besitzen.
Um jetzt weiter zu kommen und zu gucken wollte ich deren Richtungsvektoren vergleichen ob diese Koolinear sind. Wenn sie es nicht sind kann ich davon ausgehen, das die Geraden weder parallel noch identisch sind.
also
[mm] r*\vektor{-t \\ 1 \\ t} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\t-2\\ -1}
[/mm]
r*(-t)=1 und das ist [mm] r=-\bruch{1}{t}
[/mm]
für das zweite r hab ich als Ergebnis r=t-2 also sind die Geraden nicht zueinander Koolinear, somit schneiden sie sich.
Das war mein Ergebnis zu dieser Aufgabe. Ist alles richtig? Sollte ich den Schnittpunkt aussrechen? Wenn ja wie?
Gruss defjam
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Hallo defjam,
nach deiner Formulierung geht es hier nicht einfach um zwei
Geraden, sondern um zwei Geradenscharen von jeweils
unendlich vielen Geraden. Dann vermisse ich aber eine präzise
Aufgabenstellung. Die Frage nach der gegenseitigen Lage
"von zwei Geradenscharen" im Raum kann aber wohl nicht
gemeint sein. Eine vernünftige Fragestellung könnte aber
zum Beispiel sein:
Untersuche die gegenseitige Lage von [mm] g_t [/mm] und [mm] h_t [/mm] :
- für welche Werte von t sind [mm] g_t [/mm] und [mm] h_t [/mm] parallel ?
- für welche Werte von t haben [mm] g_t [/mm] und [mm] h_t [/mm] einen Schnittpunkt ?
Stelle die Koordinaten des Schnittpunktes in Abhängigkeit von t dar !
- für welche Werte von t sind [mm] g_t [/mm] und [mm] h_t [/mm] windschief zueinander ?
Dabei geht es also nicht um zwei Geradenscharen, sondern um
eine Schar von Geradenpaaren. Dies ist keineswegs dasselbe !
Ich möchte dich deshalb bitten, den genauen Aufgabentext
im Original anzugeben !
LG
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Hey,
orginalfrage:
Untersuche Sie die Lage der Geradenschar
Gruss
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Hi, defjam,
> Die Geradenschar ist gegeben:
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> [mm]g_t: \vec{x}= \pmat{ t \\ 1 \\ 0}+[/mm] r [mm]\pmat{-t \\ 1 \\ t }[/mm]
>
> [mm]h_t: \vec{x}= \pmat{ 0 \\ -1 \\ t}+[/mm] r [mm]\pmat{1 \\ t-2 \\ -1}[/mm]
>
> Mein erster Schritt war zu prüfen ob die beiden Geraden in
> einer Ebene liegen:
>
> Dafür hab ich den Verbindungsvektor ausgerechnet. Mit dem
> Verbindungsvektor und den Richtungsvektoren hab ich die
> Determinante ausgerechnet. Ich erhalte das Ergebnis 0=0.
> Dieses ergebnis habe ich so interpretiert: Für jedes
> beliebige t sind die beiden Geraden linear unabhängig. Das
> bedeutet, dass sie entweder parallel, identisch oder einen
> Schnittpunkt besitzen.
>
> Um jetzt weiter zu kommen und zu gucken wollte ich deren
> Richtungsvektoren vergleichen ob diese Koolinear sind. Wenn
> sie es nicht sind kann ich davon ausgehen, das die Geraden
> weder parallel noch identisch sind.
>
> also
>
> [mm]r*\vektor{-t \\ 1 \\ t}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\t-2\\ -1}[/mm]
>
> r*(-t)=1 und das ist [mm]r=-\bruch{1}{t}[/mm]
>
> für das zweite r hab ich als Ergebnis r=t-2 also sind die
> Geraden nicht zueinander Koolinear, somit schneiden sie
> sich.
Fehlschluss, denn: Für t = 1 erhältst Du aus beiden Beziehungen: r = -1.
Demnach sind die Geraden für t = 1 zumindest parallel; ob sie dann sogar noch identisch sind, musst Du überprüfen!
Nur für t [mm] \not= [/mm] 1 schneiden sich die Geraden.
mfG!
Zwerglein
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Wie komm ich drauf, dass nur für t=1 sie parallel oder identisch sind. Kannst du mir die Rechnung dazu zeigen?
Gruss
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Hi, defjam,
naja: Du setzt einfach [mm] -\bruch{1}{t} [/mm] = t - 2
und löst das nach t auf!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Do 21.08.2008 | | Autor: | defjam123 |
Frage hat sich erledigt
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