Lagrange-Multiplikator < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 So 12.08.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo,
es geht um diesen Beweis:
Link:
https://www.yumpu.com/de/document/view/12117595/lagrange-multiplikatoren-satz-seien-g-rn-offen-f-c-1gr-g-
Seite 2, ganz unten, wo steht: " ...und die beiden letzten Gleichungen bedeuten:
[mm] $f'(x^0) [/mm] + [mm] \lambda^T g'(x^0) [/mm] = 0$"
Meine Argumentation, warum man aus den beiden Gleichungen auf die Gleichung [mm] $f'(x^0) [/mm] + [mm] \lambda^T g'(x^0) [/mm] = 0$ schließen kann ist folgende:
Da [mm] $x^0 [/mm] = [mm] (u^0,t^0) [/mm] ist und ich das in die Argumente von f und g einsetzte, dann kann man ja nicht mehr nach u oder t partiell ableiten.
Dann bleit als einzige Möglichkeit nur noch, das f und g nach [mm] x^0 [/mm] abgeleitet werden kann.
Gebt mir doch bitte an, wie ihr den Schluß interpretieren würdet?
LG
Takota
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Di 14.08.2018 | | Autor: | meili |
Hallo Takota,
> Hallo,
>
> es geht um diesen Beweis:
>
> Link:
>
> https://www.yumpu.com/de/document/view/12117595/lagrange-multiplikatoren-satz-seien-g-rn-offen-f-c-1gr-g-
>
> Seite 2, ganz unten, wo steht: " ...und die beiden letzten
> Gleichungen bedeuten:
>
> [mm]f'(x^0) + \lambda^T g'(x^0) = 0[/mm]"
>
> Meine Argumentation, warum man aus den beiden Gleichungen
> auf die Gleichung [mm]f'(x^0) + \lambda^T g'(x^0) = 0[/mm]
> schließen kann ist folgende:
>
> Da [mm]$x^0[/mm] = [mm](u^0,t^0)[/mm] ist und ich das in die Argumente von f
> und g einsetzte, dann kann man ja nicht mehr nach u oder t
> partiell ableiten.
> Dann bleit als einzige Möglichkeit nur noch, das f und g
> nach [mm]x^0[/mm] abgeleitet werden kann.
In die existierenden Ableitungen $f'(x)$ und $g'(x)$ wird [mm] $x^0$ [/mm] eingesetzt.
>
> Gebt mir doch bitte an, wie ihr den Schluß interpretieren
> würdet?
Die beiden Gleichungen sind Gleichungen für die beiden partiellen
Ableitungen von f und g.
Da f und g stetig differenzierbar sind und die partiellen Ableitungen
stetig sind, kann aus den partiellen Ableitungen
auf die Ableitung von f und g geschlossen werden.
Wenn man die beiden Gleichungen addiert und $ [mm] (u^0, t^0) [/mm] = [mm] x^0$ [/mm] einsetzt, erhält man:
$grad \ [mm] f(x^0) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{m} \lambda_i [/mm] \ grad \ [mm] g_1(x^0) [/mm] = 0$
was die letzte Zeile des zu beweisenden Satzes ist.
>
> LG
> Takota
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Di 14.08.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo meili,
ich versuche das noch ein bischen aufzudrösseln was Du geschrieben hast.
(Ohne die Argumente [u^(t), t)], um Schreibaufwand zu sparen  ):
[mm] $f_u [/mm] + [mm] \lambda^T g_t [/mm] = 0$
[mm] $g_u [/mm] + [mm] \lambda^T g_t [/mm] = 0$
Addition und Umformen ergibt:
[mm] $f_u+f_t [/mm] + [mm] \lambda^T [(g_u [/mm] + [mm] g_t)] [/mm] = 0$
Mit dem Satz:
Da alle partiellen Ableitungen von f und g existieren und stetig sind, ist auch f und g diff'bar.
[mm] $\Rightarrow f'(x^0) [/mm] + [mm] \lambda^T [/mm] g'(x0) = 0$
Was mir noch nicht ganz klar ist:
Die partiellen Ableitung sind [mm] $f_u+f_t$, [/mm] bzw., [mm] $g_u [/mm] + [mm] g_t$.
[/mm]
Aber irgendwie fehlt da noch die innere Ableitung u'(t)?
Spielt die bei der Betrachtung hier keine Rolle?
Gruß
Takota
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Fr 17.08.2018 | | Autor: | meili |
Hallo Takota,
>
> ich versuche das noch ein bischen aufzudrösseln was Du
> geschrieben hast.
>
> (Ohne die Argumente [u^(t), t)], um Schreibaufwand zu
> sparen ):
Es wird nicht mehr $u(t)$ betrachtet (gebraucht, da im Beweis in der
Gleichung (*) $u ' [mm] (t^0)$ [/mm] ersetzt wurde durch $ [mm] -\left( g_u(u^0,t^0) \right) ^{-1}g(u^0, t^0)$ [/mm] ),
sondern $u = [mm] (x_1, \ldots, x_m)$ [/mm] und $t = [mm] (x_{m+1}, \ldots, x_n)$.
[/mm]
>
> [mm]f_u + \lambda^T g_t = 0[/mm]
> [mm]g_u + \lambda^T g_t = 0[/mm]
>
> Addition und Umformen ergibt:
>
> [mm]f_u+f_t + \lambda^T [(g_u + g_t)] = 0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Mit dem Satz:
> Da alle partiellen Ableitungen von f und g existieren und
> stetig sind, ist auch f und g diff'bar.
>
> [mm]\Rightarrow f'(x^0) + \lambda^T g'(x^0) = 0[/mm]
>
> Was mir noch nicht ganz klar ist:
>
> Die partiellen Ableitung sind [mm]f_u+f_t[/mm], bzw., [mm]g_u + g_t[/mm].
Die partiellen Ableitung sind [mm]f_u = \left( \bruch{\partial f}{\partial u_1}, \ldots, \bruch{\partial f}{\partial u_m}, 0, \ldots, 0 \right)[/mm] und [mm] $f_t [/mm] = [mm] \left(0, \ldots, 0, \bruch{\partial f}{\partial t_{m+1}}, \ldots, \bruch{\partial f}{\partial t_n} \right)$.
[/mm]
>
> Aber irgendwie fehlt da noch die innere Ableitung u'(t)?
> Spielt die bei der Betrachtung hier keine Rolle?
Es wird nicht mehr eine Funktion $u(t)$ betrachtet, sondern nur noch die
Zerlegung von $x$ in $u$ und $t$.
>
> Gruß
> Takota
>
Gruß
meili
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