Lagrange-Optimierungsproblem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Fr 23.01.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Bestimme die Lösung des Optmierungsproblems
[mm] f(x)=x^{2}+y^{2}\to [/mm] Min mit Nebenbedingung [mm] (x-1)^{3}=y^{2}
[/mm]
a) grafisch
b) durch Elimination von y
c) durch Elimination von x
d) durch Berechnung der Lagrangemultiplikatoren |
Hallo. Also Aufgabenteil a und d verstehe ich ja, aber bei b und c habe ich leider keine Ahnung. Vielleicht weiß ja hier einer mehr. Bin für jeden Tipp dankbar. Danke schonmal
Liebe Grüße
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> Bestimme die Lösung des Optmierungsproblems
> [mm]f(x,y)=x^{2}+y^{2}\to[/mm] Min mit Nebenbedingung
> [mm](x-1)^{3}=y^{2}[/mm]
>
> a) grafisch
> b) durch Elimination von y
> c) durch Elimination von x
> d) durch Berechnung der Lagrangemultiplikatoren
> Hallo. Also Aufgabenteil a und d verstehe ich ja, aber bei
> b und c habe ich leider keine Ahnung.
Hallo,
zu b)
Du sollst das y der Zielfunktion mithilfe der Nebenbedingung durch einen Ausdruck ersetzen, der nur noch von x abhängt.
Die Nebenbedingung ist [mm] (x-1)^{3}=y^{2}, [/mm] mit diesem [mm] y^2 [/mm] gehst Du nun in die Zielfunktion [mm] f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
[/mm]
Was erhältst Du? Eine Funktion, die nur noch von x abhängt und zu optimieren ist.
c) dann entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Fr 23.01.2009 | | Autor: | tynia |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich versuche das jetzt mal und melde mich wieder m it meinem Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Fr 23.01.2009 | | Autor: | tynia |
Also bei b) wäre das dann [mm] f(x)=x^{2}+(x-1)^{3} [/mm] was ich optimieren muss. bei c) muss ich [mm] (x-1)^{3}=y^{2} [/mm] so umformen:
[mm] (x-1)^{3}=y^{2}
[/mm]
[mm] x-1=\wurzel[3]{y^{2}}
[/mm]
[mm] x=\wurzel[3]{y^{2}}+3 [/mm] ist das richtig? Habe irgendwie nicht das Gefühl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Fr 23.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also bei b) wäre das dann [mm]f(x)=x^{2}+(x-1)^{3}[/mm] was ich
> optimieren muss. bei c) muss ich [mm](x-1)^{3}=y^{2}[/mm] so
> umformen:
>
> [mm](x-1)^{3}=y^{2}[/mm]
> [mm]x-1=\wurzel[3]{y^{2}}[/mm]
> [mm]x=\wurzel[3]{y^{2}}+3[/mm] ist das richtig? Habe irgendwie
> nicht das Gefühl
Wieso $+3$ ????
[mm]x-1=\wurzel[3]{y^{2}}[/mm], also [mm]x=\wurzel[3]{y^{2}}+1[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Fr 23.01.2009 | | Autor: | tynia |
Ich habe mich vertan. Muss natürlich +1 sein. Aber ist der rest richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Fr 23.01.2009 | | Autor: | tynia |
So, ich habe das mal jetzt für b) soweit gemacht, wie ich konnte und hoffe mir kann dann jemand weiter helfen.
[mm] f(x)=x^{2}+(x-1)^{3} \to [/mm] Min
[mm] \gdw f(x)=x^{3}-2x^{2}+3x-1
[/mm]
f'(x)=0 d.h. [mm] 3x^{2}-4x+3=0
[/mm]
Dann habe ich die pq-Formel genommen und es kommt sowas raus:
[mm] 3x^{2}-4x+3=0 [/mm] /:3
[mm] x^{2}-\bruch{4}{3}x+1=0
[/mm]
[mm] x=\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{4}{9}-1}
[/mm]
unter dem Bruch kommt was negatives raus. was bedeutet das jetzt? ist das überhaupt richtig bis hierhin?
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Hallo tynia!
Ich kann keinen Fehler entdecken. Dann scheint es auch keine Lösung zu geben.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Fr 23.01.2009 | | Autor: | tynia |
Also ist die Lösung von b): Es gibt keine Lösung? Was heißt das jetzt genau für mein Optimierungsproblem?
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> Also ist die Lösung von b): Es gibt keine Lösung? Was heißt
> das jetzt genau für mein Optimierungsproblem?
Hallo,
mich würde nun allerdings mal interessieren, was Du bei a) und d) herausbkommen hast.
Irritiert es Dich, daß Du bei b) keine Lösung bekommst?
Ist Dir eigentlich klar, was Du tust?
Deine Zielfunktion ist [mm] f(x,y)=x^2+y^2.
[/mm]
Was macht die? Sie ordnet jedem Punkt des [mm] \IR^2 [/mm] das Quadrat seines Abstandes vom Ursprung zu.
Du sollst das Ganze nun unter der Nebenbedingung [mm] (x-1)^3=y^2 [/mm] betrachten.
Du sollst also unter all den (x,y), die diese Gleichung lösen, den Punkt herausfinden, der den geringsten Astand vom Ursprung hat.
Wenn Du Dir die Menge aller Punkte mit [mm] (x-1)^3=y^2 [/mm] mal angeschaut hast, dann siehst Du, daß es sehr wohl solch einen Punkt gibt - obgleich Deine Rechnung von eben, die fehlerfrei ist, das Gegenteil zu zeigen scheint.
Dieser Angelegenheit muß man auf den Grund gehen.
Wenn Du Dir den Graphen von [mm] f(x)=x^2+(x-1)^3 [/mm] anschaust, siehst Du ja auch, daß es kein Minimum gibt - doch stop!
Schauen wir uns nochmal [mm] (x-1)^3=y^2 [/mm] an, so sehen wir, daß hier nur solche x infrage kommen mit [mm] x\ge [/mm] 1.
Es ist also das Minimum von f(x) über dem Intervall [mm] [1;\infty[ [/mm] zu suchen. Und dieses gibt es.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 23.01.2009 | | Autor: | tynia |
Und das Minimum finde ich mit den Lagrangemultiplikatoren? Also das wäre dann Aufgabenteil d). Damit habe ich auch so meine Probleme. Den Ansatz kriege ich hin, aber mit den Fallunterscheidungen geht irgendwie gar nix. Ich weiß einfach nicht wie ich da am besten anfange und vorgehe. Oder wie ich weiß, wieviele Fälle es gibt. Vielleicht kann mir da jemand helfen.
Ich schreibe erstmal denn Ansatz hin:
Erstmal meine Zeichnung dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Regularität: [mm] g'(x)=(3(x-1)^{2},-2y)
[/mm]
{g'(x)} linear unabhängig
[mm] 3(x-1)^{2}=0 [/mm]
-2y=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x=1,y=0
Ist jetzt die Regularität erfüllt oder nicht?
[mm] L(\vec{x},\vec{\lambda}=x^{2}+y^{2}+\lambda((x-1)^{3}-y^{2})
[/mm]
abgeleitet nach x:= [mm] 2x+3\lambda(x-1)^{2}=0
[/mm]
abgeleitet nach y:= [mm] 2y+2\lambday=0
[/mm]
[mm] (x-1)^{3}-y^{2}=0
[/mm]
So, und jetzt habe ich in der Vorlesung die Lösung abgeschrieben und verstehe nicht wie man darauf kommt:
1.Fall: y=0 ; x=1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2=0 geht nicht!!!
2.Fall: [mm] \lambda=1
[/mm]
[mm] 2x+3(x-1)^{2}=0 [/mm] geht nicht!!!
Und das ist irgendwie alles. Woher weiß ich, das es nur 2 Fälle sind? und wie komme ich auf diese Fälle?
Hoffe mir kann jemand helfen. Danke schonmal.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo tynia,
> Und das Minimum finde ich mit den Lagrangemultiplikatoren?
> Also das wäre dann Aufgabenteil d). Damit habe ich auch so
> meine Probleme. Den Ansatz kriege ich hin, aber mit den
> Fallunterscheidungen geht irgendwie gar nix. Ich weiß
> einfach nicht wie ich da am besten anfange und vorgehe.
> Oder wie ich weiß, wieviele Fälle es gibt. Vielleicht kann
> mir da jemand helfen.
>
> Ich schreibe erstmal denn Ansatz hin:
>
> Erstmal meine Zeichnung dazu:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Regularität: [mm]g'(x)=(3(x-1)^{2},-2y)[/mm]
> {g'(x)} linear unabhängig
> [mm]3(x-1)^{2}=0[/mm]
> -2y=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=1,y=0
>
> Ist jetzt die Regularität erfüllt oder nicht?
Der Nullvektor ist immer linear abhängig.
>
> [mm]L(\vec{x},\vec{\lambda}=x^{2}+y^{2}+\lambda((x-1)^{3}-y^{2})[/mm]
>
> abgeleitet nach x:= [mm]2x+3\lambda(x-1)^{2}=0[/mm]
>
>
> abgeleitet nach y:= [mm]2y+2\lambday=0[/mm]
>
> [mm](x-1)^{3}-y^{2}=0[/mm]
>
> So, und jetzt habe ich in der Vorlesung die Lösung
> abgeschrieben und verstehe nicht wie man darauf kommt:
>
> 1.Fall: y=0 ; x=1 [mm]\Rightarrow[/mm] 2=0 geht nicht!!!
>
> 2.Fall: [mm]\lambda=1[/mm]
> [mm]2x+3(x-1)^{2}=0[/mm] geht nicht!!!
>
> Und das ist irgendwie alles. Woher weiß ich, das es nur 2
> Fälle sind? und wie komme ich auf diese Fälle?
>
Aus der Gleichung
[mm]2y-\lambda*2y=0 \gdw 2y*\left(1-\lambda\right)=0[/mm]
folgt
[mm]y=0 \vee 1-\lambda=0 \gdw y=0 \vee \lambda=1[/mm]
Daher haben wir zwei Fälle.
Fall 1) y=0
Aus der Gleichung
[mm]\left(x-1\right)^{3}=y^{2}=0[/mm]
folgt
[mm]x=1[/mm]
Dies in die übriggebliebene Gleichung eingesetzt:
[mm]2x-3*\lambda*\left(x-1\right)^{2}=2*1-3*\lambda\left(1-1\right)^{2})=2\not=0[/mm]
Fall 2) [mm]\lambda=1[/mm]
Dann wird aus der Gleichung
[mm]2x+3\lambda\left(x-1\right)^{2}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow 2x+3\left(x-1\right)^{2}=0[/mm]
[mm]\gdw 2x+3x^{2}-6x+3=0[/mm]
Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen.
> Hoffe mir kann jemand helfen. Danke schonmal.
>
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Sa 24.01.2009 | | Autor: | tynia |
Danke schön. Habe es verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 24.01.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo,
ich habe hier diesselbe Aufgabe wie Tynia und verstehe das mit der Regularität nicht so wirklich. Wann muss man überhaupt überprüfen ob die Regularität gilt, also das die Ableitung der Nebenbedingung(en) linear unabhängig sind? Was ist, wenn die Regularität gilt und was ist, wenn sie nicht gilt?
Und zu der obigen Aufgabe verstehe ich nicht, warum wir bei der Regularität aufeinmal vom Nullvektor reden, wenn wir doch für x=1 und y=0 rausbekommen haben? Denn der Vektor (1,0) ist doch linear unabhängig, oder ???
LG
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> Hallo,
> ich habe hier diesselbe Aufgabe wie Tynia und verstehe das
> mit der Regularität nicht so wirklich. Wann muss man
> überhaupt überprüfen ob die Regularität gilt, also das die
> Ableitung der Nebenbedingung(en) linear unabhängig sind?
> Was ist, wenn die Regularität gilt und was ist, wenn sie
> nicht gilt?
Hallo,
im Prinzip immer.
Das Procedere mit den Lagragemultiplikatoren gilt nur für die Stellen, an denen die NB regulär ist.
Die nichtregulären Stellen sind anschließend gesondert zu untersuchen.
In der Skizze erkennst Du die nichtregulären Stellen daran, daß es Knicke, Ecken oder Enden sind.
> Und zu der obigen Aufgabe verstehe ich nicht, warum wir
> bei der Regularität aufeinmal vom Nullvektor reden, wenn
> wir doch für x=1 und y=0 rausbekommen haben? Denn der
> Vektor (1,0) ist doch linear unabhängig, oder ???
Es ging darum, für welche (x,y) der Vektor $ [mm] g'(x,y)=(3(x-1)^{2},-2y) [/mm] $ der Nullvektor ist, also =(0,0).
Die ist der Fall für x=1, y=0, also im Punkt (1,0).
Dies ist die Stelle an welcher die NB nicht regulär ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:19 Mi 28.01.2009 | | Autor: | uecki |
Ok, habe das in diesem Fall nun verstanden. Wann gelten denn bzw. wann muss ich denn die Kuhn-Tucker Bedingungen überprüfen? Also, dass es ein z gibt für das gilt g(x)*z=0 (g(x) sollen die Nebenbedingungen sein), das alle Lambdas > 0 sind und die Gradienten der Nebenbedingungen linear unabhängig sind ? Muss das immer im Zusammenhang mit Lagrangemultiplikatoren gelten?
Lg und vielen Dank :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Fr 30.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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