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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lagrange
Lagrange < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lagrange: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Mi 03.10.2007
Autor: ragsupporter

Aufgabe
  [Dateianhang nicht öffentlich]

Hallo,

ich hab da noch ein Problem mit dieser Aufgabe:

mein ansatz:

Den Bereich hab ich als Nebenbdeingung aufgelöst.

[mm]g(x,y)=4x^2+9y^2-36=0[/mm]

Das Ganze in die Langrangefunktion gepackt:

[mm]L(x,y,\lambda)=3x^2y+\lambda(4x^2+9y^2-36)[/mm]
[mm]L(x,y,\lambda)=3x^2y+4\lambda x^2+9\lambda y^2-36\lambda[/mm]

Partielle Ableitungen:

[mm]\bruch{\partial L}{\partial x}=6xy+8\lambda x=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial L}{\partial y}=3x^2+18\lambda y=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial L}{\partial \lambda}=4x^2+9y^2-36=0[/mm]

Das Problem ist nun, wie bekomme ich aus diesem Gleichungssystem die stationären Stellen? Ich komm hier irgendwie nicht weiter...

lg markus



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Mi 03.10.2007
Autor: Martinius

Hallo Markus,

Nachdem man die Ableitungen der Lagrange-Funktion gebildet hat, sollte man den Lagrange-Multiplikator so früh wie möglich aus der Rechnung eliminieren, da ihm keine weitere Bedutung zukommt.

D. h., auflösen nach [mm] \lambda: [/mm]

[mm] $\lambda [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4}*y [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6}*\bruch{x^{2}}{y}$ [/mm]

[mm] $9*y^{2}-2*x^{2} [/mm] = 0$

Zusammen mit der Nebenbedingung, die Du aus der Ableitung der Lagrange-Funktion nach [mm] \lambda [/mm] erhältst, hast Du dann ein Gleichungssystem:

I    [mm] $9*y^{2}-2*x^{2} [/mm] = 0$

II   [mm] $9*y^{2}+4*x^{2} [/mm] = 36$

, dass Du nach y und y auflösen kannst.

x = [mm] \pm \wurzel{6} [/mm]      y = [mm] \pm \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm]


LG, Martinius

P.S.: ich hatte die Vorzeichen vergessen; sorry.


Bezug
                
Bezug
Lagrange: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Mi 03.10.2007
Autor: ragsupporter

erstmal danke für deine antwort.

aber ich verstehe leider nicht wie du auf

[mm]9\cdot{}y^{2}-2\cdot{}x^{2} = 0[/mm] gekommen bist.

unser übungsleiter hat uns auch eine Lösung angegeben:

[mm]\varepsilon_{min}=(\pm \wurzel{6},\bruch{2}{3}\wurzel{3}-12\wurzel{3})[/mm]
[mm]\varepsilon_{max}=(\pm \wurzel{6},\bruch{2}{3}\wurzel{3}+12\wurzel{3})[/mm]

[mm]z_{min}=-12\wurzel{3}[/mm]
[mm]z_{max}=12\wurzel{3}[/mm]

ich weiss net wie ich darauf kommen soll. =/

lg markus

Bezug
                        
Bezug
Lagrange: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:25 Mi 03.10.2007
Autor: ragsupporter

alles klar ich glaub ich habs =)

Bezug
                        
Bezug
Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Mi 03.10.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> erstmal danke für deine antwort.
>  
> aber ich verstehe leider nicht wie du auf
>  
> [mm]9\cdot{}y^{2}-2\cdot{}x^{2} = 0[/mm] gekommen bist.
>  
> unser übungsleiter hat uns auch eine Lösung angegeben:
>  
> [mm]\varepsilon_{min}=(\pm \wurzel{6},\bruch{2}{3}\wurzel{3}-12\wurzel{3})[/mm]
>  
> [mm]\varepsilon_{max}=(\pm \wurzel{6},\bruch{2}{3}\wurzel{3}+12\wurzel{3})[/mm]

Ich glaube, das hast du falsch zitiert. Es kommt heraus:

[mm]\varepsilon_{min}=(\pm \wurzel{6},-\bruch{2}{3}\wurzel{3})[/mm]

[mm]\varepsilon_{max}=(\pm \wurzel{6},+\bruch{2}{3}\wurzel{3})[/mm]

(Was übrigens genau das ist, was Martinius dir auch ausgerechent hat, bis auf die Vorzeichen.)

> [mm]z_{min}=-12\wurzel{3}[/mm]
>  [mm]z_{max}=12\wurzel{3}[/mm]

Das ist richtig.

Allerdings hast du einen Aspekt der Aufgabe übersehen: mit der Methode der Lagrangemultiplikatoren schränkst du die Lösung auf den Rand des genannten Bereichs (einer elliptischen Fläche mit Halbachsen 3 und 2) ein. Du musst außerdem überprüfen, welche Extrema die Funktion im Inneren des Bereichs hat (nämlich gar keine).

  Viele Grüße
    Rainer

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