Lagrange < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich hab da noch ein Problem mit dieser Aufgabe:
mein ansatz:
Den Bereich hab ich als Nebenbdeingung aufgelöst.
[mm]g(x,y)=4x^2+9y^2-36=0[/mm]
Das Ganze in die Langrangefunktion gepackt:
[mm]L(x,y,\lambda)=3x^2y+\lambda(4x^2+9y^2-36)[/mm]
[mm]L(x,y,\lambda)=3x^2y+4\lambda x^2+9\lambda y^2-36\lambda[/mm]
Partielle Ableitungen:
[mm]\bruch{\partial L}{\partial x}=6xy+8\lambda x=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial L}{\partial y}=3x^2+18\lambda y=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial L}{\partial \lambda}=4x^2+9y^2-36=0[/mm]
Das Problem ist nun, wie bekomme ich aus diesem Gleichungssystem die stationären Stellen? Ich komm hier irgendwie nicht weiter...
lg markus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Markus,
Nachdem man die Ableitungen der Lagrange-Funktion gebildet hat, sollte man den Lagrange-Multiplikator so früh wie möglich aus der Rechnung eliminieren, da ihm keine weitere Bedutung zukommt.
D. h., auflösen nach [mm] \lambda:
[/mm]
[mm] $\lambda [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4}*y [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6}*\bruch{x^{2}}{y}$
[/mm]
[mm] $9*y^{2}-2*x^{2} [/mm] = 0$
Zusammen mit der Nebenbedingung, die Du aus der Ableitung der Lagrange-Funktion nach [mm] \lambda [/mm] erhältst, hast Du dann ein Gleichungssystem:
I [mm] $9*y^{2}-2*x^{2} [/mm] = 0$
II [mm] $9*y^{2}+4*x^{2} [/mm] = 36$
, dass Du nach y und y auflösen kannst.
x = [mm] \pm \wurzel{6} [/mm] y = [mm] \pm \wurzel{\bruch{4}{3}}
[/mm]
LG, Martinius
P.S.: ich hatte die Vorzeichen vergessen; sorry.
|
|
|
| |
|
erstmal danke für deine antwort.
aber ich verstehe leider nicht wie du auf
[mm]9\cdot{}y^{2}-2\cdot{}x^{2} = 0[/mm] gekommen bist.
unser übungsleiter hat uns auch eine Lösung angegeben:
[mm]\varepsilon_{min}=(\pm \wurzel{6},\bruch{2}{3}\wurzel{3}-12\wurzel{3})[/mm]
[mm]\varepsilon_{max}=(\pm \wurzel{6},\bruch{2}{3}\wurzel{3}+12\wurzel{3})[/mm]
[mm]z_{min}=-12\wurzel{3}[/mm]
[mm]z_{max}=12\wurzel{3}[/mm]
ich weiss net wie ich darauf kommen soll. =/
lg markus
|
|
|
| |
|
alles klar ich glaub ich habs =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Mi 03.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> erstmal danke für deine antwort.
>
> aber ich verstehe leider nicht wie du auf
>
> [mm]9\cdot{}y^{2}-2\cdot{}x^{2} = 0[/mm] gekommen bist.
>
> unser übungsleiter hat uns auch eine Lösung angegeben:
>
> [mm]\varepsilon_{min}=(\pm \wurzel{6},\bruch{2}{3}\wurzel{3}-12\wurzel{3})[/mm]
>
> [mm]\varepsilon_{max}=(\pm \wurzel{6},\bruch{2}{3}\wurzel{3}+12\wurzel{3})[/mm]
Ich glaube, das hast du falsch zitiert. Es kommt heraus:
[mm]\varepsilon_{min}=(\pm \wurzel{6},-\bruch{2}{3}\wurzel{3})[/mm]
[mm]\varepsilon_{max}=(\pm \wurzel{6},+\bruch{2}{3}\wurzel{3})[/mm]
(Was übrigens genau das ist, was Martinius dir auch ausgerechent hat, bis auf die Vorzeichen.)
> [mm]z_{min}=-12\wurzel{3}[/mm]
> [mm]z_{max}=12\wurzel{3}[/mm]
Das ist richtig.
Allerdings hast du einen Aspekt der Aufgabe übersehen: mit der Methode der Lagrangemultiplikatoren schränkst du die Lösung auf den Rand des genannten Bereichs (einer elliptischen Fläche mit Halbachsen 3 und 2) ein. Du musst außerdem überprüfen, welche Extrema die Funktion im Inneren des Bereichs hat (nämlich gar keine).
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
