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Ich habe noch eine Frage zu der Lagrange-Methode.
Ich hatte vorher immer Funktionen mit der Nebenbedingung die [mm] ...\le... [/mm] lautete. (Gibt es auch [mm] ...\ge...? [/mm] Muss ich hier etwas beachten bei der Umstellung?).
Das hat mir ja dann gesagt, dass es Extrema im Inneren und am Rand gibt.
Nun habe ich die Lagrangemethode, bei der (immer?) Nebenbedingungen der Form ...=... vorkommen.
Beispiel:
Berechnen Sie die möglichen Extrem (x,y,z) und den Wert des Lagrangemultiplikators (was soll das sein?) der Funktion
[mm] f(x,y,z)=z^2+2zy+(x+1)^2 [/mm] unter der Nebenbedingung
[mm] e^{x+y+z}-1=0
[/mm]
Zu aller erst: Was sagt mir das =0? Was mache ich jetzt anders, als bei Nebenbedingungen der Form [mm] ...\le...?
[/mm]
Was ich bei der Aufgabenstellung nicht ganz verstehe ist "Extrema (x,y,z) UND den Wert der Lagrangemultiplikators".
Wenn ich vorher Funktionen mit der Nebenbedingung [mm] \le [/mm] hatte, dann habe ich ja damit [mm] (F(x,y,\lambda)) [/mm] die Extremwerte am Rand bestimmt, vorher noch ohne Nebenbedingung die Werte im Inneren.
Meint der Wert des L.-Multiplikators einfach die Umstellung nach 0 (aber es ist ja schon von der Form =0)?
Ich bin noch sehr wackelig auf dem Gebiet, kann mir jemand helfen? :( Ich denke, nach den ganzen verschiedenen Beispielen sollte ich das System verstanden haben.
Danke, danke, danke!!
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Ich habe nun mal versucht zu rechnen:
[mm] f(x,y,z)=z^2+2zy+(x+1)^2
[/mm]
Nebenbedingung: [mm] e^{x+y+z}-1=0
[/mm]
[mm] F(x,y,z,\lambda)=z^2+2zy+(x+1)^2+\lambda(e^{x+y+z}-1)
[/mm]
Ableitung nach x: [mm] 2x+2+\lambda(e^{x+y+z}-1)
[/mm]
nach y: [mm] 2z+\lambda(e^{x+y+z}-1)
[/mm]
nach z: [mm] 2z+2y+\lambda(e^{x+y+z}-1)
[/mm]
nach [mm] \lambda: e^{x+y+z}-1
[/mm]
Soweit korrekt?
Nun kann ich die erste Ableitung nach x=0 setzen und habe:
[mm] \lambda=\bruch{-2x-2}{e^{x+y+z}}
[/mm]
kann ich in die Ableitung nach y einsetzen: => x=-1+z
Aber was nun?
Und falls es untergegangen ist nochmal die Frage: Was ist der Unterschied bei solchen Nebenbedingungen zu Nebenbedingungen mit [mm] \le [/mm] und falls es das gibt [mm] \ge?
[/mm]
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Ja, richtig, ich habe mich vertippt, weil ich die Terme kopiert habe.
Aber Wie komme ich nun voran um die Nullstellen zu berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Aus der Ableitung nach [mm] $\lambda$ [/mm] folgt dorch:
[mm] $$f_\lambda [/mm] \ : \ [mm] e^{x+y+z}-1 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ [mm] e^{x+y+z} [/mm] \ = \ 1$$
Dies kannst Du nun in die anderen 3 Ableitungen einsetzen.
Gruß
Loddar
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> Ich habe noch eine Frage zu der Lagrange-Methode.
>
> Ich hatte vorher immer Funktionen mit der Nebenbedingung
> die [mm]...\le...[/mm] lautete. (Gibt es auch [mm]...\ge...?[/mm] Muss ich
> hier etwas beachten bei der Umstellung?).
Hallo,
nichts besonderes.
Du machst eine normale Untersuchung, bei der Du dann diejenigen Ergebnisse nimmst, für die [mm] \ge [/mm] gilt, und anschließend mit Lagrange eine Untersuchung auf dem Rand.
>
> Das hat mir ja dann gesagt, dass es Extrema im Inneren und
> am Rand gibt.
>
> Nun habe ich die Lagrangemethode, bei der (immer?)
> Nebenbedingungen der Form ...=... vorkommen.
>
> Beispiel:
>
> Berechnen Sie die möglichen Extrem (x,y,z) und den Wert des
> Lagrangemultiplikators (was soll das sein?) der Funktion
>
> [mm]f(x,y,z)=z^2+2zy+(x+1)^2[/mm] unter der Nebenbedingung
> [mm]e^{x+y+z}-1=0[/mm]
>
> Zu aller erst: Was sagt mir das =0? Was mache ich jetzt
> anders, als bei Nebenbedingungen der Form [mm]...\le...?[/mm]
Wenn da nur = steht, brauchst Du nur eine Untersuchung auf dem Rand durchzuführen, also Lagrange.
>
> Was ich bei der Aufgabenstellung nicht ganz verstehe ist
> "Extrema (x,y,z) UND den Wert der Lagrangemultiplikators".
Du sollst halt sagen, welchen Wert das [mm] \lambda [/mm] hat, welches Du im Vergleich Deiner Bemühungen berechnest.
Gruß v. Angela
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Wieso berechne ich [mm] \lambda? [/mm] Ich dachte, das ist das erste, was ich eliminiere :)
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> Wieso berechne ich [mm]\lambda?[/mm] Ich dachte, das ist das erste,
> was ich eliminiere :)
Hallo,
ob es das erste ist, was Du eliminierst, hast ja Du selbst in der Hand - oft macht man das so, weil man das [mm] \lambda [/mm] nicht braucht. Normalerweise interessiert dessen Wert nicht.
Aber auch, wenn Du es am Anfang eliminiert hast, kannst Du ja später seinen Wert errechnen, wenn jemand diesen unbedingt wissen will.
Wenn ich bei einem LGS das Gauß-Verfahren durchführe, eliminiere ich ja auch erstmal fast alle Variablen und ermittle ihren Wert anschließend, indem ich ausgehend von der letzten Variablen rückwärts einsetze.
Gruß v. Angela
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Muss ich bei dem Langrange-Verfahren überhaupt noch die Hesse-Matrix in Betracht ziehen? Im Grunde doch nicht, oder?
Ich berechne bei Nebenbedingungen mit [mm] \ge [/mm] oder [mm] \le [/mm] erstmal die stationären Punkte der Funktion und dann sofort die stationären Punkte auf dem Rand. Am Ende vergleiche ich nur alle Werte, brauche also keine Hesse-Matrix um zu bestimmen, ob Minimum, Maximum etc, oder?
Und wenn ich Eine Nebenbedingung mit = habe, dann fällt das ja ohnehin weg (der erste Teil), ich gehe sofort hin und berechne die stationären Punkte mit Nebenbedingung. Aber muss ich dann wieder eine Hesse-Matrix aufstellen?
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> Muss ich bei dem Langrange-Verfahren überhaupt noch die
> Hesse-Matrix in Betracht ziehen? Im Grunde doch nicht,
> oder?
Hallo,
für Lagrange-Untersuchungen auf dem Rand nützt Dir die "normale" Hessematrix nichts.
Mancherorten wird hierfür noch mit der geränderten Hessematrix gearbeitet, ob das bei Euch der Fall ist, weiß ich nicht.
Gruß v. Angela
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Hier ist jeweils das $-1_$ innerhalb der Klammer zuviel!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
