Lagrange Basis Mengensystem < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:53 Sa 18.04.2009 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | | Bildet das Mengensystem [mm] l_j(x)=\{ \produkt_{i=1,j\not=i}^{n}\bruch{x-t_i}{t_j-t_i}\}_{j=1}^n [/mm] eine Basis in [mm] \IR_n-1 [/mm] [x]? |
Ok, das in den Klammern ist die Lagrange Basis im Polynomraum. wie ich zeige, dass diese polynome linear unabhängig ist, ist mir (einigermassen) klar. Aber nun zur Frage: Über das Mengensystem wähle ich ja eine endliche Anzahl dieser unabhängigen Basispolynome aus, oder? Und wie zeige ich, oder sage ich mit hilfe eines anderen satzes, dass auch eine endliche auswahl einer Basis wieder eine Basis ist.
Oder bin ich ganz auf dem Holzweg?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Sa 18.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bildet das Mengensystem [mm]l_j(x)=\{ \produkt_{i=1,j\not=i}^{n}\bruch{x-t_i}{t_j-t_i}\}_{j=1}^n[/mm]
> eine Basis in [mm]\IR_n-1[/mm] [x]?
>
> Aber nun zur Frage: Über das Mengensystem wähle ich ja eine endliche
> Anzahl dieser unabhängigen Basispolynome aus, oder?
Wie meinst du das? In dem Mengensystem befinden sich $n$ Polynome, die linear unabhaengig sind und eine Basis von [mm] $\IR_{n-1}[x]$ [/mm] bilden. Wo waehlst du daraus welche aus?
> Und wie
> zeige ich, oder sage ich mit hilfe eines anderen satzes,
> dass auch eine endliche auswahl einer Basis wieder eine
> Basis ist.
Eine endliche Auswahl einer Basis ist normalerweise eine Basis eines Unterraums.
> Oder bin ich ganz auf dem Holzweg?
Ich verstehe nicht ganz, worauf du hinaus willst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Sa 18.04.2009 | | Autor: | Aquilera |
Ich verstehe die FRage so, dass es ein mengensystem ist, wo zuerst ein polynom und dann zwei und dann drei, also immer größer werdende mengen sind, oder versteh ich das ganze einfach falsch udn es ist die "normale" lagrangebasis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 So 19.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich verstehe die FRage so, dass es ein mengensystem ist, wo
> zuerst ein polynom und dann zwei und dann drei, also immer
> größer werdende mengen sind, oder versteh ich das ganze
> einfach falsch udn es ist die "normale" lagrangebasis?
Du waehlst vorher $n$ fest; dann enthaelt das Mengensystem (es ist dann genau eins) genau $n$ Polynome vom Grad $n - 1$, die eine Basis von [mm] $\IR_{n-1}[x]$ [/mm] bilden.
LG Felix
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