Lagrange Multiplikation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 So 27.05.2012 | | Autor: | sirgrej |
| Aufgabe | | Benutzen sie Lagrange Optimierung um x³+4y² unter der Bedingung 4x²+2y = 7 zu maximieren. |
Um die Aufgabe zu lösen habe ich die Lagrange Multiplikation benutzt. ich habe also die [mm] \lambda [/mm] funktion aufgestellt und jeweils nach x,y, und [mm] \lambda [/mm] abgeleitet und gleich null gesetzt.
danach nach x und y aufgelöst und in meine nebenbedingung eingesetzt. durch die PQ-Formel bin ich dann auf zwei verschiedene [mm] \lambda [/mm] gekommen.
insgesamt habe ich folgende Lösungen raus:
x1= 0 ; [mm] x2=\bruch{-8\lambda}{3} [/mm] ; [mm] y=\bruch{-\lambda}{4}
[/mm]
für [mm] \lambda [/mm] hab ich einmal [mm] \lambda1=0,51 [/mm] und [mm] \lambda2=0,49
[/mm]
jetzt könnte ich ja meine x und y-werte durch meine [mm] \lambda [/mm] ausrechnen und bekomme dann 3 verschiedene x-werte und 2 y- werte.
aber was bringt mir das? wie kann ich die werte interpretieren?
danke schon mal für die hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo sirgrej,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Benutzen sie Lagrange Optimierung um x³+4y² unter der
> Bedingung 4x²+2y = 7 zu maximieren.
> Um die Aufgabe zu lösen habe ich die Lagrange
> Multiplikation benutzt. ich habe also die [mm]\lambda[/mm] funktion
> aufgestellt und jeweils nach x,y, und [mm]\lambda[/mm] abgeleitet
> und gleich null gesetzt.
> danach nach x und y aufgelöst und in meine nebenbedingung
> eingesetzt. durch die PQ-Formel bin ich dann auf zwei
> verschiedene [mm]\lambda[/mm] gekommen.
>
> insgesamt habe ich folgende Lösungen raus:
>
> x1= 0 ; [mm]x2=\bruch{-8\lambda}{3}[/mm] ; [mm]y=\bruch{-\lambda}{4}[/mm]
>
> für [mm]\lambda[/mm] hab ich einmal [mm]\lambda1=0,51[/mm] und
> [mm]\lambda2=0,49[/mm]
>
Da Du 3 x-Werte bekommst, musst Du auch 3 [mm]\lambda[/mm]-Werte bekommen.
Abgesehen davon, müssen [mm]\lambda_{1}[/mm] und [mm]\lambda_{2}[/mm] verschiedene Vorzeichen haben.
Poste doch dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> jetzt könnte ich ja meine x und y-werte durch meine
> [mm]\lambda[/mm] ausrechnen und bekomme dann 3 verschiedene x-werte
> und 2 y- werte.
>
Du bekommst ebenfalls 3 y-Werte.
> aber was bringt mir das? wie kann ich die werte
> interpretieren?
>
Diese Lösungen untersuchst Du nun auf die Art des Extremums.
>
> danke schon mal für die hilfe
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 27.05.2012 | | Autor: | sirgrej |
Ok ich schreibe dann mal meine rechnung auf.
also aus den oben gegebenen daten stelle ich folgende lambdafunktion auf und setze sie gleich 0
[mm] h(x,y,\lambda)=x³+4y²4x²\lambda+2\lambday-7\lambda=0
[/mm]
daraus ergeben sich folgende partielle ableitungen die ich dann mit 0 gleichsetze:
[mm] \bruch{\Delta h}{\Delta x}=3x²+8\lambdax=0
[/mm]
[mm] \bruch{\Delta h}{\Delta y}=8y+2\lambda=0
[/mm]
[mm] \bruch{\Delta h}{\Delta\lambda}=4x²+2y-7=0
[/mm]
für x und y ergeben sich folgende lösungen:
x1=0 [mm] \wedge [/mm] x2= [mm] \bruch{-8\lambda}{3}
[/mm]
y= [mm] \bruch{-\lambda}{4}
[/mm]
wenn ich x=0 in die nebenbedingung einsetze bekomme ich für
[mm] \lambda=-14
[/mm]
die anderen beiden [mm] \lambda [/mm] bekomme ich wenn ich den x und y wert einsetze und mit hilfe der PQ-Formel auflöse.
damit hab ich dann 2 weitere [mm] \lambda
[/mm]
[mm] \lambda1=0,51 [/mm] und [mm] \lambda2=0,49
[/mm]
jetzt kann mich mit den [mm] \lambda [/mm] die fehlenden x und y werte ausrechnen.
x1=0 [mm] \wedge [/mm] x2= [mm] \bruch{112}{3} \wedge x3=\bruch{-34}{25} \wedge x4=\bruch{-98}{75} [/mm]
[mm] y1=\bruch{7}{2} \wedge y2=\bruch{-51}{400} \wedge y3=\bruch{-49}{400}
[/mm]
so, jetzt hab ich alle werte, was jetzt?
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Hallo sirgrey,
> Ok ich schreibe dann mal meine rechnung auf.
>
> also aus den oben gegebenen daten stelle ich folgende
> lambdafunktion auf und setze sie gleich 0
>
> [mm]h(x,y,\lambda)=x³+4y²4x²\lambda+2\lambday-7\lambda=0[/mm]
>
Benutze nicht die alternative Tastenbelegung der Tasten 2 und 3,
sondern die ursprüngliche Taste 2 bzw. 3.
x^{3} bzw. y^{2}
Das sieht dann so aus:
[mm]x^{3}[/mm] bzw. [mm]y^{2}[/mm]
Insgesamt sieht das so aus:
[mm]h(x,y,\lambda)=x^{3}+4y^{2}+4x^{2}\lambda+2\lambda y-7 \lambda=0[/mm]
> daraus ergeben sich folgende partielle ableitungen die ich
> dann mit 0 gleichsetze:
>
> [mm]\bruch{\Delta h}{\Delta x}=3x²+8\lambdax=0[/mm]
>
Auch hier:
[mm]\bruch{\Delta h}{\Delta x}=3x^{2}+8\lambda x=0[/mm]
> [mm]\bruch{\Delta h}{\Delta y}=8y+2\lambda=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\Delta h}{\Delta\lambda}=4x²+2y-7=0[/mm]
>
Ebenso hier:
[mm]\bruch{\Delta h}{\Delta\lambda}=4x^{2}+2y-7=0[/mm]
> für x und y ergeben sich folgende lösungen:
>
> x1=0 [mm]\wedge[/mm] x2= [mm]\bruch{-8\lambda}{3}[/mm]
>
> y= [mm]\bruch{-\lambda}{4}[/mm]
>
>
> wenn ich x=0 in die nebenbedingung einsetze bekomme ich
> für
> [mm]\lambda=-14[/mm]
>
> die anderen beiden [mm]\lambda[/mm] bekomme ich wenn ich den x und y
> wert einsetze und mit hilfe der PQ-Formel auflöse.
>
> damit hab ich dann 2 weitere [mm]\lambda[/mm]
>
> [mm]\lambda1=0,51[/mm] und [mm]\lambda2=0,49[/mm]
>
Diese [mm]\lambda[/mm]'s müssen unterschiedliche Vorzeichen haben.
> jetzt kann mich mit den [mm]\lambda[/mm] die fehlenden x und y werte
> ausrechnen.
>
> x1=0 [mm]\wedge[/mm] x2= [mm]\bruch{112}{3} \wedge x3=\bruch{-34}{25} \wedge x4=\bruch{-98}{75}[/mm]
>
> [mm]y1=\bruch{7}{2} \wedge y2=\bruch{-51}{400} \wedge y3=\bruch{-49}{400}[/mm]
>
>
> so, jetzt hab ich alle werte, was jetzt?
Gruss
MathePower
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