Lagrange Multiplikator < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Di 16.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie Minimum und Maximum von $f(x,y)=xy$ unter der Nebenbedingung [mm] $x^k+y^k=1,$ $k\in \mathbb{N}$ [/mm] gegeben, $x,y [mm] \geq [/mm] 0$ |
NB [mm] $\Rightarrow$ $x=-(y^k-1)^{k^{-1}}$ [/mm]
[mm] $\frac{d}{dy}(-(y^k-1)^{k^{-1}}y)=(\frac{1}{y^k-1}+2)(-(y^k-1))^{k^{-1}}=0 \Rightarrow \frac{1}{y^k-1}=-2$ [/mm] (da der zweite Faktor nie null sein kann).
Nun, bei letzterem kann ich niemals auf y kommen, ich komme am Schluss höchstens auf [mm] $k=\frac{ln(\frac{1}{2})}{ln(y)}. [/mm] Wie berechne ich mir nun daraus $y$???
Der Vorgang am Anfang ähnelt ja der Lösung einer Extremwertaufgabe im Eindimensionalen. Ist mein Anfang richtig oder empfehlt ihr mir einen komplett anderen Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Di 16.11.2010 | | Autor: | moudi |
Ja warum nicht die Lagrange Multiplikator verwenden?
[mm] $f(x,y,\lambda)=xy+\lambda(x^k+y^k-1)$.
[/mm]
Die Bedingungen fuer ein Extremum sind dann, dass alle partiellen Ableitungen 0 werden, (wobei die partielle Ableitung nach [mm] $\lambda$ [/mm] einfach wieder die Nebenbedingung liefert).
Du musst also das Gleichungssystem [mm] $f_x=0$, $f_y=0$ [/mm] und [mm] $f_\lambda=0$ [/mm] loesen. Am besten empfiehlt es sich aus den beiden Gleichung [mm] $f_x=0$ [/mm] und [mm] $f_y=0$ [/mm] die Variable [mm] $\lambda$ [/mm] zu eliminieren. Dann hat man noch ein Gleichungssystem in $x$ und $y$.
mfG Moudi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:22 Di 16.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Danke für deine Antwort!
Ich habe in der Litteratur nachgesehen und es heißt dort, dass man [mm] $f(x)-\lambda [/mm] g(x)$ betrachten soll.
Demnach lautet [mm] $f(x,y,\lambda)=xy-\lambda(x^k+y^k+z^k)$ [/mm]
Wenn ich nun partiell nach x ableite, erhalte ich: [mm] $y-\lambda kx^{k-1}= [/mm] 0$ und wenn ich nach $y$ ableite, erhalte ich [mm] $x-\lambda ky^{k-1}=0$ [/mm]
Wenn ich die beiden nun gleichsetze, fällt mir [mm] $\lambda$ [/mm] bei Divison durch [mm] $\lambda$ [/mm] aber nicht völlig weg, sondern es bleibt im Nenner erhalten.
Was mache ich falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Di 16.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Entschuldige bitte, ist völlig klar, wie man dies auflöst.
Ich erhalte am Schluss (wegen der [mm] Injektivität)$y^k=x^k \Rightarrow [/mm] x=y$. Damit kommt mir für $f(1/2, 1/2)=1/4$.
Ist damit die Aufgabe (komplett) gelöst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mi 17.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldige bitte, ist völlig klar, wie man dies
> auflöst.
>
> Ich erhalte am Schluss (wegen der Injektivität)[mm]y^k=x^k \Rightarrow x=y[/mm].
> Damit kommt mir für [mm]f(1/2, 1/2)=1/4[/mm].
> Ist damit die Aufgabe (komplett) gelöst?
Nein, Dein Ergebnis kann nicht stimmen. Die Lösung wird von k abhängen !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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