Lagrange'schen Multiplikatoren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Ebene 2y+4z-5 = 0 schneidet den Kegel [mm] z^2 [/mm] = [mm] 4(x^2+y^2) [/mm] im [mm] \IR^3 [/mm] ("(x,y,z)-Raum") längs einer Kurve. Welcher Punkt dieser Kurve liegt dem Ursprung am nächsten? Lösen Sie die Aufgabe mit der Lagrange'schen Multiplikatorenmethode. |
Hallo an alle!
Ich sitze jetzt schon ein Weilchen an dieser Aufgabe und habe auch schon alles mögliche durchprobiert, aber eine wirkliche Haupt- bzw. Nebenbedingung find ich nicht! Ich habe zunächst mal die Ebene und den Kegel gleichgesetzt und die daraus resultierende Gleichung als HB angenommen, aber dann find ich einfach keine NB! Soll ich einfach die Ebenengleichung und die Kegelgleichung als HB und NB betrachten, ich weiß nicht wirklich weiter!
Ich bin über jede Anregung die zur Lösung führen könnte sehr dankbar!!
Vielen Dank schonmal im Voraus
MfG, SusiSunny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
sind die beiden gegebenen Gleichungen deine Nebenbedingungen. Deine Extremwertaufgabe hierbei ist es den Abstand zum Ursprung zu minimieren, also wo wird Norm von (x,y,z) minimal. Da dort auch x²+y²+z² minimal wird, da die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, würd ich lieber damit rechnen, dann stört die Wurzel nicht.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hi nochmal!
Also wenn ich x²+y²+z² als minimal annehme und beide Gleichung (Ebene und Kegel) zu einer vereinige, dann komm ich doch letzten Endes auf eine solche Form:
grad h(x,y,z)= [mm] \lambda [/mm] grad F(x,y,z)
[mm] \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \lambda \begin{pmatrix} 8x \\ 8y+2 \\ 2z+4 \end{pmatrix} [/mm]
Aber wie komme ich dann hier weiter? Und stimmt meine Formel überhaupt?
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Hi, ich glaube du hast dort was vergessen.
Du bildest also die Lagrange-Fnkt. vorher aber z nach y aus der ersten Gleichung umstellen und überall ersetzen --> L(x,y)=f(x,y)+ [mm] \lambda [/mm] g(x,y)
Damit die Funktion Minimum annimt muss Du grad L(x,y)=0 berechnen.
Dafür muss Du aber prüfen, ob diese spez. Bed. (habe vergessen wie die heißen) gelten, die die Lösbarkeit der Gleichung garantieren.
bis dann
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Hi!!
Also jetzt bin ich vollkommen verwirrt! Ich löse also die erste Gleichung nach z auf und setze sie in die zweite ein und damit rechne ich dann weiter?? Aber mit der von dir gegebenen Gleichung kann ich nichts anfangen, bzw. weiß ich nich was ich da für was einsetzen soll! Ich hoffe ihr könnt mir noch ein kleines bisschen helfen !
MfG, SusiSunny
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Also du berechnest den Gradienten von L(x,y) nach x,y und [mm] \lambda [/mm] und dann musst Du ein nicht lineares Gleichungssystem in 3 Variablen lösen.
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Ich habe den Gradienten von L(x,y) also berechnet mit:
grad [mm] L(x,y)=\begin{pmatrix} 8x \\ \bruch{15}{2} y + \bruch{5}{4} \end{pmatrix} [/mm] so und was soll ich jetzt berechnen?? Ich hab grad irgendwie ein Brett vorm Kopf tut mir leid!
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Ja, jetzt fällt irgendwie noch die partielle Ableitung nach [mm] \lambda. [/mm] Du mußt die Funktion L halt als [mm] L(x,y,\lambda) [/mm] ansehen. Dann setzt du das ganze = 0 und löst die Gleichung!
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Aber ich hab doch gar kein [mm] \lambda [/mm] in meiner Gleichung ich wüsste auch gar nich wo ich das da reinbringen sollte!
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Hast du denn [mm] L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda [/mm] g(x,y) gebildet? oder was hast Du denn da gemacht?
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Also ich hatte jetzt einfach die Ebenengleichung nach z aufgelöst und dann in die Kegelgleichung eingesetzt und dann hab ich davon den Gradienten genommen, da ich gar nicht weiß was für Gleichung mit g(x,y) und f(x,y) meintest!? Deshalb hab ich auch gar kein [mm] \lambda [/mm] in der Gleichung drin, dass ist mir ja bewusst!
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mit g(x,y) meinte ich die Nebenbed. also das was du in der Kegelgl. erhältst.
Denselben Ausdruck für z setzt du dann auch in [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] --> f(x,y)
Jetzt sollte es klappen! 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Di 12.06.2007 | | Autor: | viktory_hh |
| Aufgabe | | Hat denn nun alles geklappt? |
kann du lin alg. gut?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:42 Di 12.06.2007 | | Autor: | SusiSunny |
Naja war gestern nen bissel spät alles durchzurechnen, aber werde mich heute noch drauf stürzen, danke nochmal für die Hilfe! Was willst du denn in lin. alg. wissen?? Nen bissel weiß ich da schon, vllt kann ich dir helfen!?
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