Lagrange und kritische Stellen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:50 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Krongurke |
Hallo,
hab folgende Aufgabe, und komme beim Gleichungssystem nicht weiter..bekomme da den völligen Lambda-Wust und auf keine Lösung:
f(x,y,z) = 8x+10y+8z
NB1: [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] =16
NB2: 4x+4z=8
Unter der Berücksichtigung das Definitionsbereich x,y,z >= 0 ist.
Habe folgende Sachen gemacht:
Lagrange: 8x+10y+8z [mm] +lambda1*(4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] =16) + Lambda2*(4x+4z=8)
f'x = 8 + 2lambdax + Lambda2 = 0
f'y = 10 + 2lambday + lambda2 = 0
f'z = 8 + Lambda1 + Lambda2 = 0
f'lambda1 = [mm] 4x^2+4y^2-16=0
[/mm]
f'lambda2 = 4x+4z-8=0
Was mache ich jetzt?
Gruss
Kronkurke
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Hallo Julius,
danke für das Skript.
Leider habe ich nicht alles verstanden. Bin eher ein bildhafter Denker, und mein Mathe-Verständnis ist mangels Abstraktsionsvermögen das eines Gummihammers.
Ich habe nun verstanden, das die Lagrange-Gleichung, die Funktion + lambda1* NB1 + Lambda2* NB2 ist.
Leider habe ich nun Probleme mit dem Gleichungssystem, weil Gauss ja nun nicht in Frage kommt.
Ich schreibe mal die Funktion plus NB hin, vielleicht kannst du mir einen entscheidenen Stoss in die richtige Richtung geben.
Also: f(x,y,z) = 8x+10y+8z
NB1: [mm] 4x^2+4y^2=16
[/mm]
NB2:4x+4z=8
Habe folgende Sachen gemacht:
Lagrange: 8x+10y+8z + [mm] Lambda1*(4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] =16) + Lambda2*(4x+4z=8)
f'x = 8 + 2lambdax + Lambda2 = 0
f'y = 10 + 2lambday + lambda2 = 0
f'z = 8 + Lambda1 + Lambda2 = 0
f'lambda1 = [mm] 4x^2+4y^2-16=0 [/mm]
f'lambda2 = 4x+4z-8=0
Was mache ich jetzt?
Gruss
Kronkurke
Danke!
Gruss
Kronkurke
PS:ich kann nicht mal annähernd abschätzen, wie es für ein Mathe-Ass sein muss, solche simplen Dinge jemandem erklären zu müssen.:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Julius |
verbessert
> f(x,y,z) = 8x+10y+8z
> NB1: [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] =16
> NB2: 4x+4z=8
Hallo Krongurke!
Hättest du mir meinen Link mal durchgelesen, dann hättest du gesehen, dass Lagrange die folgenden drei Gleichungen liefert:
(1) $8 + 8 [mm] \lambda_1 [/mm] x +4 [mm] \lambda_2 [/mm] = 0$,
(2) $10 + 8 [mm] \lambda_1 [/mm] y = 0$,
(3) $8 [mm] +4\lambda_2$.
[/mm]
Hier musst du nun jeweis $x$, $y$ und $z$ isolieren, dieses dann in
[mm] $4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] - 16=0$,
$4x+4z-8 = 0$.
einsetzen und als Gleichungssystem in [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] versuchen zu lösen.
Viel Spaß dabei!
Viele Grüße
Julius
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Hallo Julius,
habe deinen Link gelesen. Kam aber leider trotzdem nicht weiter.
Du hast unten bei der ersten Ableitung nach z, 8 + lmabda2*z
Darauf komme ich leider nicht.
Wenn ich nach z ableite, und 8x + 10y + 8z + [mm] lambda1(4x^2+4y^2-16) [/mm] + lambda2*(4x+4z-8) habe, dann bekomme ich doch 8, aus der 8z der Zielfunktion, kein lambda1 und 4lambda2, weil 4z abgeleitet nicht z sondern 4 ist. (also 8 + 4lambda2= 0)
Wie kommt also das z da hin?
Das war ja genau mein Problem, das ich kein z in den 3 partiellen Ableitungen hatte.
Danke!!
Gruss
KG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, du hast natürlich recht. Oh Gott, mein dritter Flüchtigkeitsfehler in den letzten 24 Stunden.
Das kommt davon, wenn man zeitgleich 10 Aufgaben bearbeiten muss, weil es im Forum zu wenig Unterstützung gibt.
Ich verbessere es jetzt.
Aber die erste Gleichung kannst du ja trotzdem lösen für [mm] $\lambda_1$ [/mm] (in Abhängigkeit von [mm] $\lambda_2$ [/mm] !), oder? Dann kann man sich ja a posteriori noch mal überlegen, wie $z$ aussehen muss. Eventuell gibt es ja dann auch eine Lösungsschar.
Versuche es bitte mal.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Krongurke |
Danke! Ich versuche es mal.
Glaub mir, ich würde gerne helfen...aber in Mathe bin ich leider derjenige der Hilfe gebrauchen kann.
Gruss
KG
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http://homepage.univie.ac.at/Wilfried.Grossmann/Vorlesungen/Mathe2/NichtlineareOptimierung-handout.pdf
