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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Lambertsche W-Funktion
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Lambertsche W-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Do 23.10.2008
Autor: Zweiti

Aufgabe
Der Wert der Lambertschen W-Funktion an der Stelle x ist die reelle Lösung der Gleichung [mm] y\*exp(x)=x, [/mm] sofern diese existiert und eindeutig ist; kurz W(x)=y. Sonst sei die W-Funktion nicht definiert. Kann - zumindestens für einige geeignete Werte der Zahlen A und B - die Lösung der Gleichung [mm] A=x+B\*exp(-x) [/mm] mit Hilfe der W-Funktion in geschlossener Form angegeben werden?

Hallo,
ich glaube bei der Aufgabe muss ich einfach erstmal die Gleichun in die Form [mm] x\*exp(x)=y [/mm] überführen, da liegt aber mein Problem, ich weiß nicht wie ich das anfange.
Für einen Hinweis wäre ich dankbar.

Zweiti

Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Lambertsche W-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Do 23.10.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Der Wert der Lambertschen W-Funktion an der Stelle x ist
> die reelle Lösung der Gleichung [mm]y\*exp(x)=x,[/mm] sofern diese
> existiert und eindeutig ist; kurz W(x)=y. Sonst sei die
> W-Funktion nicht definiert.


Hallo Zweiti,

diese "Definition" der W-Funktion ist nicht richtig.
Sie müsste z.B. so formuliert sein:

Der Wert der Lambertschen W-Funktion an der Stelle x ist
die reelle Lösung y der Gleichung [mm]y*exp(y)=x,[/mm] sofern diese
existiert und eindeutig ist. In diesem Fall ist W(x)=y.
Sonst sei die W-Funktion nicht definiert.




Bezug
        
Bezug
Lambertsche W-Funktion: es geht !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Do 23.10.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Kann - zumindestens für einige geeignete Werte der
> Zahlen A und B - die Lösung der Gleichung

>       [mm]A=x+B\*exp(-x)[/mm]

> mit Hilfe der W-Funktion in geschlossener Form ange-
> geben werden?

Ja, das geht:  

        [mm] A=x+B*e^{-x} [/mm]

        [mm] A-x=B*e^{-x} [/mm]

        [mm] (A-x)*e^x=B [/mm]

Substitution:  x-A=u , d.h. x=u+A

        [mm] -u*e^{u+A}=B [/mm]

        [mm] u*e^{u}=-B*e^{-A} [/mm]

        [mm] u=W(-B*e^{-A}) [/mm]

        [mm] x=W(-B*e^{-A})+A [/mm]

Gruß


Bemerkung:

im Reellen ist die W-Funktion eindeutig definiert
(wie in der Definition gefordert wurde), falls das
Argument nicht-negativ ist. Dies würde für die
vorliegende Gleichung also bedeuten: x ist ein-
deutig bestimmt genau dann, wenn [mm] -B*e^{-A}\ge [/mm] 0
oder, was damit gleichbedeutend ist:  [mm] B\le [/mm] 0



Bezug
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