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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Fr 28.01.2011 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Man benutze die Notation O(g(x)) für [mm] x\to\infty
[/mm]
a) Schreiben Sie entsprechend die folgenden Aüsdrücke in asymptotischer Notation für [mm] x\to\infty:
[/mm]
i) [mm] 5x^{3}+x^{2}-1
[/mm]
[mm] ii)e^{-x}+x^{2}
[/mm]
iii)x |sin(x)|
b) Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
i) [mm] O(x^{2})+O(x^{3})
[/mm]
ii) [mm] O(x^{2})-O(x^{2})
[/mm]
iii) [mm] O(x^{2})-O(x^{3})
[/mm]
iv).... |
Hallo,
ich hab ein riesiges Problem. Ich schreibe demnächst ein Klausur in Computerorientierten Mathematik und versteh einfach patu nicht die O-Notation.
Ich schaue mir die Definition an und weiß dadurch halt,dass es ein c >0 geben muss s.d. gilt : f(x) [mm] \le [/mm] cg(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \ge x_{0}.
[/mm]
Ich weiß auch,dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = c , aber ich komm damit nicht weiter. Kann mir jemand helfen, bzw. paar helfende Worte zukommen lassen.
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Hi simplify,
ja auch wir wurden letztens damit konfrontiert, was erstmal zu großer Verwirrung geführt hat=)
Was ich bisher verstanden habe:
Per Definition gilt ja: Seien f und g zwei Funktionen definiert nahe [mm] x=x_{0}. [/mm] Dann sagt man f(x)= O(g(x)), [mm] x\to x_{0} \gdw \exists [/mm] C>0, sodass in einer Umgebung [mm] x=x_{0} [/mm] gilt: [mm] |f(x)|\le [/mm] C |g(x)|
Dann interpretieren wir diese Aussage mal: Durch das „O“ Symbol beschreibt man doch jetzt das Verhalten einer Funktion (hier g) im Vergleich zu einer anderen Funktion f. Genauer gesagt das asymptotische Verhalten bei der Näherung an den Wert [mm] x_{0}, [/mm] oder aber auch für einen „unendlichen Grenzwert“, d.h. man verwendet diese Notation auch für [mm] x\to \infty. [/mm] Was fängt man damit an? Nun, wie ich das bisher verstanden habe, findet diese Notation häufig Verwendung bei der Fehlerabschätzung für den Fehlerterm einer Approximation (konkretes Beispiel: Reihendarstellungen). So lassen sich Restterme dadurch um eine bestimmte Größenordnung abschätzen. Hast du z.B. irgendeine Approximation einer Funktion durch eine Reihe und möchtest ein Glied mithilfe von „O“ abschätzen und hast [mm] ...+...+O(x^5), [/mm] dann sagst du damit aus, dass der Absolutbetrag deines Approcimationsfehlers kleiner ist als eine Konstante mal [mm] x^5..(ich [/mm] hoffe die Mathematiker hier, drehen mir dafür nicht den Hals um=))
Für klein „o“ mit der Notation f(x)=o(g(x)) sagt man, wenn f(x)=O(g(x)) [mm] x\to x_{0}gilt [/mm] und f in [mm] x_{0}zudem [/mm] eine „stärkere Nullstelle hat“, also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\x_{0}}\bruch{f(x)}{g(x)}=0.
[/mm]
Ist wahrscheinlich nicht sehr mathematisch formuliert, wobei ich sagen muss, dass man sich an deren Definitionen auch manchmal aufhängen kann. Hoffe, es hilft dir ein wenig.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:25 Mo 31.01.2011 | | Autor: | simplify |
ja,vielen dank erstmal.ich werde mal schauen,ob ich meine aufgaben jetzt gelöst kriege.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mi 09.02.2011 | | Autor: | fatha |
Da ich eine ähnliche Klausur schreibe, würde ich gerne meine Ergebnisse schreiben um zu sehen ob ich es verstehe.
a)
i) [mm]O(x^3)[/mm], da [mm] 5x^3 [/mm] der größte Wert ist und bei [mm]x^3[/mm] als Funktion g 5 die Konstante ist.
ii) [mm]O(x^2)[/mm], da [mm]e^-x[/mm] gegen 0 konvergiert und deshalb vernachlässigbar ist.
iii) [mm]O(x)[/mm], [mm]|sin x|[/mm] ist maximal 1 und kann deswegen vernachlässigt werden
b)
i) [mm]O(x^3)[/mm], da die Funktionsklasse [mm]O(x^2)[/mm] bei [mm]O(x^3)[/mm] vernachlässigbar ist.
ii) Hier bin ich mir nicht sicher. Ich nehme an, dass das Ergebnis [mm]O(1)[/mm] ist.
iii) Das weiß ich nicht, ich nehme an nicht definiert. Kann das jemand genauer erklären?
Liebe Grüße fatha
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