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Forum "Laplace-Transformation" - Laplace-Rücktransformation
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Laplace-Rücktransformation: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:10 Mo 30.04.2012
Autor: handballer1988

Aufgabe
Gesucht ist die inverse LAPLACE-Transformierte der Funktion: [mm] F_{(s)}= \bruch{e^{(-\pi*s)}*(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo und guten Abend!


Könnte mir bitte jemand bei o. g. Aufgabe behilflich sein??

Folgenden Ansatz habe ich:

- Den Therm [mm] e^{(-\pi*s)} [/mm] kann ich herausheben uns sofort invers transformieren: [mm] F_{S1}=e^{(-\pi*s)} [/mm] ==> [mm] f_{t1}= \delta(t-\pi) [/mm] (Dirac Delta Funktion)

Danach bleibt mir noch der Therm [mm] \bruch{(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)} [/mm] Sieht schon besser aus als die Angabe aber noch nicht wirklich gut...

Ich habe nun eine Partialbruchzerlegung versucht - Ergebniss: Dieser Therm lässt sich nicht weiter zerlegen!

Nun habe ich diesen Therm folgendermaßen aufgespalten: [mm] \bruch{(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(s^2+4*s+5)}-\bruch{2*s}{(s^2+4*s+5)} [/mm]

Nun kann ich den ersten der Beiden Therme Rücktransformieren und zwar: [mm] F_{S2}=\bruch{1}{(s^2+4*s+5)} [/mm] ==> [mm] f_{t2}=e^{-2*t}*sin(t) [/mm]

Soweit richtig???

Naja sieht ja schon wieder ein bisschen besser aus als am Anfang, nur leider habe ich nun den Therm [mm] -\bruch{2*s}{(s^2+4*s+5)} [/mm] mit dem ich einfach nichts anzufangen weiß!!

Hätte hier bitte jemand einen Tipp  über das weitere Vorgehen bzw. über den bisherigen Lösungsansatz für mich???

Danke und Lg


        
Bezug
Laplace-Rücktransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Di 01.05.2012
Autor: MathePower

Hallo handballer1988,

> Gesucht ist die inverse LAPLACE-Transformierte der
> Funktion: [mm]F_{(s)}= \bruch{e^{(-\pi*s)}*(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)}[/mm]
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo und guten Abend!
>  
>
> Könnte mir bitte jemand bei o. g. Aufgabe behilflich
> sein??
>  
> Folgenden Ansatz habe ich:
>  
> - Den Therm [mm]e^{(-\pi*s)}[/mm] kann ich herausheben uns sofort
> invers transformieren: [mm]F_{S1}=e^{(-\pi*s)}[/mm] ==> [mm]f_{t1}= \delta(t-\pi)[/mm]
> (Dirac Delta Funktion)
>  
> Danach bleibt mir noch der Therm
> [mm]\bruch{(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)}[/mm] Sieht schon besser aus als die
> Angabe aber noch nicht wirklich gut...
>  
> Ich habe nun eine Partialbruchzerlegung versucht -
> Ergebniss: Dieser Therm lässt sich nicht weiter zerlegen!
>  
> Nun habe ich diesen Therm folgendermaßen aufgespalten:
> [mm]\bruch{(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(s^2+4*s+5)}-\bruch{2*s}{(s^2+4*s+5)}[/mm]
>  
> Nun kann ich den ersten der Beiden Therme
> Rücktransformieren und zwar: [mm]F_{S2}=\bruch{1}{(s^2+4*s+5)}[/mm]
> ==> [mm]f_{t2}=e^{-2*t}*sin(t)[/mm]
>  
> Soweit richtig???
>  


Ja.


> Naja sieht ja schon wieder ein bisschen besser aus als am
> Anfang, nur leider habe ich nun den Therm
> [mm]-\bruch{2*s}{(s^2+4*s+5)}[/mm] mit dem ich einfach nichts
> anzufangen weiß!!
>  
> Hätte hier bitte jemand einen Tipp  über das weitere
> Vorgehen bzw. über den bisherigen Lösungsansatz für
> mich???

>


Den Nenner hast Du offenbar so zerlegt:

[mm]s^{2}+4s+1=\left(s+2\right)^{2}+1[/mm]  

Zerleger nun den Zähler [mm]-2s[/mm] genau auf diese Weise:

[mm]-2s=a*\left(s+2\right)+n[/mm]


> Danke und Lg

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Laplace-Rücktransformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Di 01.05.2012
Autor: handballer1988

Hallo!


> Den Nenner hast Du offenbar so zerlegt:
>  
> [mm]s^{2}+4s+1=\left(s+2\right)^{2}+1[/mm]  

Genau so ist es!

>
> Zerleger nun den Zähler [mm]-2s[/mm] genau auf diese Weise:
>  
> [mm]-2s=a*\left(s+2\right)+n[/mm]
>  

Wenn ich das richtig verstanden habe, hätte ich den Zähler -2*s zerlegt in:
-2*(s+2)+4

Der "neue" Therm würde dan lauten:

[mm] \bruch{-2*(s+2)+4}{((s+2)^2+1)} [/mm]

Wenn ich nun noch den Nenner in die Therme (-2*(s+2)) und (4) zerlege und die Rücktransformation durchführe erhalte ich:

[mm] f_{t3}=-2*e^{-2*t}*(cos(t)-2*sin(t)) [/mm]

Und für die Gesamttransformation:

[mm] f_{t} [/mm] = [mm] (\delta(t-\pi))*(e^{-2\cdot{}t}\cdot{}sin(t)-2*e^{-2*t}*(cos(t)-2*sin(t))) [/mm]

[mm] f_{t} [/mm] = [mm] (\delta(t-\pi))*e^{-2*t}*(5*sin(t)-2*cos(t)) [/mm]

Ist das so korrekt??

Vielen vielen Dank für diesen Ansatz! Wäre alleine im Leben bicht darauf gekommen! Nur wenn man des Ergebniss sieht, scheint es logisch!!
Lg


Bezug
                        
Bezug
Laplace-Rücktransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Di 01.05.2012
Autor: MathePower

Hallo handballer1988,

> Hallo!
>  
>
> > Den Nenner hast Du offenbar so zerlegt:
>  >  
> > [mm]s^{2}+4s+1=\left(s+2\right)^{2}+1[/mm]  
>
> Genau so ist es!
>  
> >
> > Zerleger nun den Zähler [mm]-2s[/mm] genau auf diese Weise:
>  >  
> > [mm]-2s=a*\left(s+2\right)+n[/mm]
>  >  
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, hätte ich den
> Zähler -2*s zerlegt in:
>  -2*(s+2)+4
>  
> Der "neue" Therm würde dan lauten:
>  
> [mm]\bruch{-2*(s+2)+4}{((s+2)^2+1)}[/mm]
>  
> Wenn ich nun noch den Nenner in die Therme (-2*(s+2)) und
> (4) zerlege und die Rücktransformation durchführe erhalte
> ich:
>  
> [mm]f_{t3}=-2*e^{-2*t}*(cos(t)-2*sin(t))[/mm]
>  
> Und für die Gesamttransformation:
>  
> [mm]f_{t}[/mm] =
> [mm](\delta(t-\pi))*(e^{-2\cdot{}t}\cdot{}sin(t)-2*e^{-2*t}*(cos(t)-2*sin(t)))[/mm]
>  
> [mm]f_{t}[/mm] = [mm](\delta(t-\pi))*e^{-2*t}*(5*sin(t)-2*cos(t))[/mm]
>  
> Ist das so korrekt??
>  


Für die Argumente der Exponential-, Sinus- und Cosinusfunktion
ist t entsprechend durch [mm]t-\pi[/mm] zu ersetzen.


> Vielen vielen Dank für diesen Ansatz! Wäre alleine im
> Leben bicht darauf gekommen! Nur wenn man des Ergebniss
> sieht, scheint es logisch!!
>  Lg
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Laplace-Rücktransformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Di 01.05.2012
Autor: handballer1988

Super, Danke!

Endlich gelöst!

Letzte Frage noch:

Warum muss ich anstatt (t) [mm] (t-\pi) [/mm] einsetzten??

Bezug
                                        
Bezug
Laplace-Rücktransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Di 01.05.2012
Autor: MathePower

Hallo handballer1988,

> Super, Danke!
>  
> Endlich gelöst!
>  
> Letzte Frage noch:
>  
> Warum muss ich anstatt (t) [mm](t-\pi)[/mm] einsetzten??


Weil Du eine Verschiebung um [mm]\pi[/mm] hast.


Gruss
MathePower

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Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Laplace-Transformation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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