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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Herby |
Halllllo Zusammen,
ich möchte euch folgenden Vorfall schildern:
Wie jeder weiß, ist es möglich die Ableitung der Orginalfunktion als Bildfunktion darzustellen.
Ist man aber an der eigentlichen Darstellung gar nicht interessiert, sondern nur an einem Grenzwert, dann darf man den lim anwenden.
In meinem Skript taucht folgendes auf...
[mm] \limes_{s\rightarrow0} \integral_{0}^{\infty}{f'(x)*e^{-st} dt}=\integral_{0}^{\infty}{\limes_{s\rightarrow0} f'(x)*e^{-st} dt}=....
[/mm]
das also die Ausgangssituation. Irgendwie kamen wir (also die, die das außer mir noch gelesen hatten) auf die Frage, warum und ob man denn den Grenzwert einfach so in das Integral ziehen dürfe.
Da keiner von uns armen kleinen geplagten ......, außer Vermutungen, konstruktive Beiträge liefern konnte, fragten wir unseren Mathe-Doc.
Er äußerte, dass wir ja nur Ingenieure werden wollten und keine Mathematiker und verweigerte jede weitere Dikussion.
Auch der Hinweis, dass früher schon Leute wegen viel weniger verbrannt wurden ![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]") , änderte nix an seiner Verweigerung.
Spaß beiseite, warum darf man das oder was für Bedenken könnte man haben in ein Integral einen Limes herein zu ziehen?
Liebe Grüße
Herby
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Hallo.
Was man braucht, um Integral und Limes vertauschen zu dürfen, ist die gleichmäßige Konvergenz des Integranden bezüglich $t$.
Zu zeigen ist also, daß [mm] $f'(x)e^{-st}$ [/mm] gleichmäßig konvergiert für [mm] $s\to [/mm] 0$.
Im Allgemeinen wird dies aber bloß dann der Fall sein, wenn $f'(x)$ nicht von $t$ abhängt, aber dann ist das Integral ja langweilig 
Wie ist denn der konkrete Zusammenhang?
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Do 23.02.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Christian,
> Hallo.
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> Was man braucht, um Integral und Limes vertauschen zu
> dürfen, ist die gleichmäßige Konvergenz des Integranden
> bezüglich [mm]t[/mm].
Ich dachte eher, dass es hier um die Grundvoraussetzung für die Laplace-Transformation geht -- endlich viele Sprungstellen, Stetigkeit, u.s.w.
Wieso gleichmäßige Konvergenz??
> Zu zeigen ist also, daß [mm]f'(x)e^{-st}[/mm] gleichmäßig
> konvergiert für [mm]s\to 0[/mm].
Konvergiert denn mit o.g. Voraussetzung eine Funktion, die mit [mm] e^{-irgendetwas} [/mm] in die Knie gezwungen wird, nicht immer?
Oder geht es hier wieder darum, dass sie "schnell" genug konvergiert?
> Im Allgemeinen wird dies aber bloß
> dann der Fall sein, wenn [mm]f'(x)[/mm] nicht von [mm]t[/mm] abhängt, aber
> dann ist das Integral ja langweilig
oh, entschuldige bitte, es ist immer dasselbe, dass da so'n x reinrutscht ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
sollte f(t) sein, sonst hast du natürlich recht!!!!!
> Wie ist denn der konkrete Zusammenhang?
Es geht allgemein um den folgenden Beweis:
[mm] f(\infty)= \limes_{t\rightarrow\infty}f(t)= \limes_{s\rightarrow0}[s*F(s)]
[/mm]
Beweis:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f'(t)*e^{-st} dt}=\mathcal{L}\{f'(t)\}=s*F(s)-f(0)
[/mm]
Jetzt kann man auf beiden Seiten den Grenzwert bilden
[mm] \limes_{s\rightarrow0}\integral_{0}^{\infty}{f'(t)*e^{-st} dt}=\limes_{s\rightarrow0}[s*F(s)-f(0)]
[/mm]
linke Seite durch Vertauschung des Integrals mit dem Grenzwert
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\limes_{s\rightarrow0}f'(t)*e^{-st} dt}= \integral_{0}^{\infty}{f'(t)*(\limes_{s\rightarrow0}e^{-st}) dt}=\integral_{0}^{\infty}{f'(t) dt}=[f(t)]^{\infty}_{0}=f(\infty)-f(0)
[/mm]
auf der rechten Seite wird der Grenzwert termweise gebildet
[mm] \limes_{s\rightarrow0}[s*F(s)-f(0)]=\limes_{s\rightarrow0}[s*F(s)]-f(0)
[/mm]
Zusammengefasst erhalte ich
[mm] f(\infty)-f(0)=\limes_{s\rightarrow0}[s*F(s)]-f(0)
[/mm]
und damit erhalte ich die erste Gleichung.
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Fr 24.02.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Christian,
ich hab mir deine Antwort gestern nochmal genau angeschaut und eigentlich macht ja hier auch nur die Konvergenz Sinn!
Danke für die Antwort
und
Liebe Grüße
Herby
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