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[mm] f(t)=t^{n}
[/mm]
[mm] F(s)=\integral_{0}^{\infty}{t^{n}*e^{-st} dt}
[/mm]
[mm] =[\bruch{t^{n}*e^{-st}}{-s}-\bruch{n}{-s}*\integral_{}^{}{t^{n-1}*e^{-st} dt}]
[/mm]
[mm] =[\bruch{\infty^{n}*e^{-s*\infty}}{-s}-\bruch{n}{-s}*\integral_{}^{}{\infty^{n-1}*e^{-s\infty} dt} [/mm] - [mm] \bruch{0^{n}*e^{-s*0}}{-s}-\bruch{n}{-s}*\integral_{}^{}{0^{n-1}*e^{-s0} dt} [/mm] ]
So wenn ich die Grenzen [mm] \infty [/mm] und 0 einsetze kriege ich als Ergebnis 0 raus, das kann ja schon mal nicht stimmen.
Stimmt das Integral vielleicht nicht?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(t)=t^{n}[/mm]
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> [mm]F(s)=\integral_{0}^{\infty}{t^{n}*e^{-st} dt}[/mm]
>
> [mm]=[\bruch{t^{n}*e^{-st}}{-s}-\bruch{n}{-s}*\integral_{}^{}{t^{n-1}*e^{-st} dt}][/mm]
>
> [mm]=[\bruch{\infty^{n}*e^{-s*\infty}}{-s}-\bruch{n}{-s}*\integral_{}^{}{\infty^{n-1}*e^{-s\infty} dt}[/mm]
> -
> [mm]\bruch{0^{n}*e^{-s*0}}{-s}-\bruch{n}{-s}*\integral_{}^{}{0^{n-1}*e^{-s0} dt}[/mm]
> ]
>
Das ist ja fürchterlich !
> So wenn ich die Grenzen [mm]\infty[/mm] und 0 einsetze kriege ich
> als Ergebnis 0 raus, das kann ja schon mal nicht stimmen.
>
> Stimmt das Integral vielleicht nicht?
Berechne mal langsam und sauber das Integral
[mm] \integral_{0}^{b}{t^{n}*e^{-st} dt} [/mm]
und lasse dann b gegen [mm] \infty [/mm] gehen.
FRED
>
> mfg
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:12 Di 10.03.2009 | | Autor: | energizer |
Hallo, was ist den da dran fürchterlich? Das Integral oder das Einsetzen der Grenzen?
Das Integral hab ich aus dem Papula..
So habs jetzt mal selber versucht.
Partielle Integration: [mm] u=t^{n} v'=e^{-st}
[/mm]
[mm] t^{n}*\bruch{e^{-st}}{-s}-\integral_{}^{}{n*t^{n-1}*\bruch{e^{-st}}{-s} dt}
[/mm]
Ist der Ansatz schon mal richtig mit dem u und v'?
Mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, was ist den da dran fürchterlich? Das Integral oder
> das Einsetzen der Grenzen?
Das:
$ [mm] =[\bruch{t^{n}\cdot{}e^{-st}}{-s}-\bruch{n}{-s}\cdot{}\integral_{}^{}{t^{n-1}\cdot{}e^{-st} dt}] [/mm] $
$ [mm] =[\bruch{\infty^{n}\cdot{}e^{-s\cdot{}\infty}}{-s}-\bruch{n}{-s}\cdot{}\integral_{}^{}{\infty^{n-1}\cdot{}e^{-s\infty} dt} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{0^{n}\cdot{}e^{-s\cdot{}0}}{-s}-\bruch{n}{-s}\cdot{}\integral_{}^{}{0^{n-1}\cdot{}e^{-s0} dt} [/mm] $ ]
> Das Integral hab ich aus dem Papula..
>
> So habs jetzt mal selber versucht.
>
> Partielle Integration: [mm]u=t^{n} v'=e^{-st}[/mm]
>
> [mm]t^{n}*\bruch{e^{-st}}{-s}-\integral_{}^{}{n*t^{n-1}*\bruch{e^{-st}}{-s} dt}[/mm]
>
> Ist der Ansatz schon mal richtig mit dem u und v'?
>
> Mfg
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Hi, fred
was ist mit meinem Ansatz habe ich u und v' richtig gewählt?
Mfg
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Hallo energizer,
> Hi, fred
>
> was ist mit meinem Ansatz habe ich u und v' richtig
> gewählt?
Ja, der Ansatz ist richtig gewählt.
>
> Mfg
Gruß
MathePower
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Hm ich komme gerade irgendwie nicht weiter..
[mm] t^{n}*\bruch{e^{-st}}{-s}-\integral_{}^{}{n*t^{n-1}*\bruch{e^{-st}}{-s} dt}
[/mm]
Wenn ich nun das [mm] v'=n*t^{n-1} [/mm] und [mm] u=\bruch{e^{-st}}{-s} [/mm] wähle kann ich ja am Ende das Integral auf die linke Seite bringen, hab aber auf der rechten 0.
Hab deswegen das u und v' mal vertauscht aber der Term wird immer größer.
[mm] t^{n}*\bruch{e^{-st}}{-s}-n*t^{n-1}*\bruch{e^{-st}}{s^{2}}-\integral_{}^{}{(n^{2}-n)*t^{n-2}*\bruch{e^{-st}}{s²} dt}
[/mm]
Ich drehe mich andauernd im Kreis, ich krieg das Integral einfach nicht gelöst!
Mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Do 12.03.2009 | | Autor: | energizer |
Hallo, ich kriege das Integral nicht gelöst.
Kann mir wenigstens einer sagen ob das Integral vom Post davor, bis dahin stimmt, damit ich hier weiterkomme?
Schon mal vielen Dank.
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Do 12.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Gibt doch nicht auf, Du bist auf einem guten Weg.
Sei [mm] $I_n [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{t^{n}\cdot{}e^{-st} dt} [/mm] $
Was Du bisher gemacht hast läuft auf folgende Rekursionsformel hinaus:
[mm] $I_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{s}I_{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{t^{n}\cdot{}e^{-st}}{s}$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1
hinaus.
[mm] I_0 [/mm] kannst Du leicht berechnen.
FRED
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Hallo Fred, danke erstmal.
$ [mm] I_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{s}I_{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{t^{n}\cdot{}e^{-st}}{s} [/mm] $
Wie komme ich von meinem Integral auf diese Rekursionsformel ?
Kannst du mir vielleicht zeigen wie du sie bestimmt hast?
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Do 12.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast sie gefunden !
Oben hattest Du doch geschrieben:
"So habs jetzt mal selber versucht.
Partielle Integration: $ [mm] u=t^{n} v'=e^{-st} [/mm] $
$ [mm] t^{n}\cdot{}\bruch{e^{-st}}{-s}-\integral_{}^{}{n\cdot{}t^{n-1}\cdot{}\bruch{e^{-st}}{-s} dt} [/mm] $"
FRED
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Hi FRED,
ich kann mir den Weg von hier
[mm] t^{n}\cdot{}\bruch{e^{-st}}{-s}-\integral_{}^{}{n\cdot{}t^{n-1}\cdot{}\bruch{e^{-st}}{-s} dt}
[/mm]
nach
[mm] I_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{s}I_{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{t^{n}\cdot{}e^{-st}}{s}
[/mm]
nicht herleiten bzw. ich sehe das einfach nicht. Hat bei mir leider noch nicht "klick" gemacht.
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Do 12.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi FRED,
>
> ich kann mir den Weg von hier
>
> [mm]t^{n}\cdot{}\bruch{e^{-st}}{-s}-\integral_{}^{}{n\cdot{}t^{n-1}\cdot{}\bruch{e^{-st}}{-s} dt}[/mm]
>
> nach
>
> [mm]I_n[/mm] = [mm]\bruch{n}{s}I_{n-1}[/mm] - [mm]\bruch{t^{n}\cdot{}e^{-st}}{s}[/mm]
>
> nicht herleiten bzw. ich sehe das einfach nicht. Hat bei
> mir leider noch nicht "klick" gemacht.
>
> Mfg
Wir hatten:
$ [mm] I_n [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{t^{n}\cdot{}e^{-st} dt} [/mm] $
Du hattest:
[mm] \integral_{}^{}{t^{n}\cdot{}e^{-st} dt}=[/mm] [mm]t^{n}\cdot{}\bruch{e^{-st}}{-s}-\integral_{}^{}{n\cdot{}t^{n-1}\cdot{}\bruch{e^{-st}}{-s} dt}[/mm]
Ziehe aus dem letzten Integral n und -s vor das Integral. Dann siehst Du es.
FRED
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Hi, aha jetzt seh ichs auch.
Das [mm] I_{n-1} [/mm] ist ja dann das Integral.
So um [mm] I_{0} [/mm] zu bestimmen muss ich ja für das n=0 einsetzen, hab ja noch das unbekannte "t".
Muss ich dann gleichzeitig die Grenzen einsetzen?
[mm] I_{0}=[ \bruch{0}{s}*\integral_{}^{}{t^{-2}*e^{-st} dt}-\bruch{t^{0}*e^{-st}}{s} [/mm] ]
Und anschließend die Grenzen [mm] \infty [/mm] und 0 einsetzen?
Mfg
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Hallo energizer,
> Hi, aha jetzt seh ichs auch.
>
> Das [mm]I_{n-1}[/mm] ist ja dann das Integral.
>
> So um [mm]I_{0}[/mm] zu bestimmen muss ich ja für das n=0 einsetzen,
> hab ja noch das unbekannte "t".
>
> Muss ich dann gleichzeitig die Grenzen einsetzen?
>
> [mm]I_{0}=[ \bruch{0}{s}*\integral_{}^{}{t^{-2}*e^{-st} dt}-\bruch{t^{0}*e^{-st}}{s}[/mm]
>xf ]
Die Rekursionsformel gilt nur für [mm] n \ge 1[/mm]
>
> Und anschließend die Grenzen [mm]\infty[/mm] und 0 einsetzen?
Hast Du das Integral mit Hilfe der Rekursionsformel ausgerechnet,
so muß Du eine Grenzwertbetrachtung durchführen.
[mm]\integral_{0}^{\infty}{t^{n} e^{-st} \ dt}=\limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{0}^{a}{t^{n} e^{-st} \ dt=\limes_{a\rightarrow\infty} I_{n}\left(s,t)[/mm]
>
> Mfg
Gruss
MathePower
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Hallo Fred, ich versteh nicht wie ich damit auf die Laplacetransformierte kommen soll.
Ich musste noch nie eine Rekusionsformel auf ein Integral anwenden,deswegen hab ich so Probleme damit.
Sprich, ich weiß nicht so richtig was ich machen soll.
Hast Du das Integral mit Hilfe der Rekursionsformel ausgerechnet,
so muß Du eine Grenzwertbetrachtung durchführen.
Hm wenn ich das richtig verstanden hab so?
[mm] I_{2-1}=\integral_{}^{}{t^{1}*e^{-st} dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{t}{-s}*e^{-st}-\bruch{1}{s²}
[/mm]
[mm] I_{2}=\bruch{2}{s}*[\bruch{t}{-s}*e^{-st}-\bruch{1}{s²}]-\bruch{t^{n}+e^{-st}}{s}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2t*s*e^{-st}-2-t^{2}*s²+s²*e^{-st}}{s^{3}}
[/mm]
Hm irgendwie kan das nicht stimmen, da müsste man ja überall das [mm] e^{-st} [/mm] rausziehen können.
Vielleicht kannst du mir sagen was ich falsch gemacht habe und wie ich es richtig machen soll.
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Fr 13.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Mit der Formel kommst DU mit b>0 auf:
[mm] \integral_{0}^{b}{t^ne^{-st} dt} [/mm] = [mm] \bruch{n}{s}\integral_{0}^{b}{t^{n-1}e^{-st} dt} -[\bruch{t^ne^{-st}}{s}]^{b}_0 [/mm] = [mm] \bruch{n}{s}\integral_{0}^{b}{t^{n-1}e^{-st} dt} -\bruch{b^ne^{-sb}}{s}
[/mm]
Es gilt: [mm] \bruch{b^ne^{-sb}}{s} [/mm] ----> 0 (b---> [mm] \infty)
[/mm]
Für b ---> [mm] \infty [/mm] liefert dies:
(*) [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^ne^{-st} dt} [/mm] = [mm] \bruch{n}{s}\integral_{0}^{\infty}{t^{n-1}e^{-st} dt} [/mm]
Für n = 0: [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-st} dt} [/mm] = 1/s (nachrechnen !)
Mit (*) bekommst Du dann induktiv:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^ne^{-st} dt} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{s^{n+1}}
[/mm]
FRED
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