www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenPartielle DifferentialgleichungenLaplace Operator
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Laplace Operator
Laplace Operator < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Laplace Operator: Eigenwertgleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mo 03.11.2014
Autor: c0d3x

Aufgabe
Die Eigenwertgleichung für den Laplace-Operator mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen lautet im Zweidimensionalen
[mm] \\ [/mm]
[mm] \begin{matrix} \Delta u := u_{xx} + u_{yy} = \lambda u \\ u(x, 0) = u(x, b) = u=(0, y) = u(a,y) = 0, \ x \in [0,a], y \in [0, b] \end{matrix}\\ [/mm]
Bestimme mit dem Separationsansatz Funktionen u(x, y) der Form X(x)Y(y) die dieses Problem lösen. Welche werte für [mm] $\lambda$ [/mm] ergeben nicht nur Lösungen $u(x,y) [mm] \equiv [/mm] 0$

Also ich hab bisher folgendes :
[mm] \[\] Gegeben ist die Eigenwertgleichung des Laplace-Operators : \[ u : = u_{x x} + u_{y y} = \lambda u \] \[ u_{x x} + u_{y y} - \lambda u = 0 \] Bestimme nichttriviale L{ö}sungen mit Separationsansatz : \[ u = X (x) Y (y) \] \[ u_x = X (x) \cdot 0 + X' (x) \cdot Y (y) = X' (x) \cdot Y (y) \] \[ u_{x x} = X' (x) \cdot 0 \noplus + X'' (x) \cdot Y (y) = X'' (x) \cdot Y (y) \] \[ u_y = Y (y) \cdot 0 + Y' (y) \cdot X (x) = Y' (y) \cdot X (x) \] \[ u_{y y} = Y' (y) \cdot 0 \noplus + Y'' (y) \cdot X (x) = Y'' (y) \cdot X (x) \] Einsetzen in gegebene Differentialgleichung : \[ X'' (x) Y (y) + Y'' (y) X (x) = \lambda X (x) Y (y) \] \[ \ \] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} + \frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda \] [/mm]

hier bin bleib ich jetzt hängen und zweifel an meinem Ansatzt also [mm]\[ u = X (x) Y (y) \][/mm] ... falls der ok ist würde ich mich über einen tip, wie ich jetzt weitermachen kann, freuen ... :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Laplace Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Mo 03.11.2014
Autor: fred97


> Die Eigenwertgleichung für den Laplace-Operator mit
> homogenen Dirichlet-Randbedingungen lautet im
> Zweidimensionalen
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm] \begin{matrix} \Delta u := u_{xx} + u_{yy} = \lambda u \\ u(x, 0) = u(x, b) = u=(0, y) = u(a,y) = 0, \ x \in [0,a], y \in [0, b] \end{matrix}\\ [/mm]
>  
> Bestimme mit dem Separationsansatz Funktionen u(x, y) der
> Form X(x)Y(y) die dieses Problem lösen. Welche werte für
> [mm]\lambda[/mm] ergeben nicht nur Lösungen [mm]u(x,y) \equiv 0[/mm]
>  Also
> ich hab bisher folgendes :
>  [mm] \[\] Gegeben ist die Eigenwertgleichung des Laplace-Operators : \[ u : = u_{x x} + u_{y y} = \lambda u \] \[ u_{x x} + u_{y y} - \lambda u = 0 \] Bestimme nichttriviale L{ö}sungen mit Separationsansatz : \[ u = X (x) Y (y) \] \[ u_x = X (x) \cdot 0 + X' (x) \cdot Y (y) = X' (x) \cdot Y (y) \] \[ u_{x x} = X' (x) \cdot 0 \noplus + X'' (x) \cdot Y (y) = X'' (x) \cdot Y (y) \] \[ u_y = Y (y) \cdot 0 + Y' (y) \cdot X (x) = Y' (y) \cdot X (x) \] \[ u_{y y} = Y' (y) \cdot 0 \noplus + Y'' (y) \cdot X (x) = Y'' (y) \cdot X (x) \] Einsetzen in gegebene Differentialgleichung : \[ X'' (x) Y (y) + Y'' (y) X (x) = \lambda X (x) Y (y) \] \[ \ \] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} + \frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda \] [/mm]


Ja, das gilt für alle x [mm] \in [/mm] [0,a]  und alle y [mm] \in [/mm] [0,b].

Überlege Dir, dass [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] auf [0,a] und [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] auf [0,b]
konstant ist

FRED>  

> hier bin bleib ich jetzt hängen und zweifel an meinem
> Ansatzt also [mm]\[ u = X (x) Y (y) \][/mm] ... falls der ok ist
> würde ich mich über einen tip, wie ich jetzt weitermachen
> kann, freuen ... :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
        
Bezug
Laplace Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Mo 03.11.2014
Autor: c0d3x

Bei
[mm] \begin{matrix} x \in [0,a], y \in [0, b] \\ \end{matrix} [/mm]

sind die Funktionswerte doch konst. 0, richtig ?
die schliesse ich doch mit der Division durch $u$ aus und komme so auf [mm]\[ \frac{X'' (x)}{X (x)} + \frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda \][/mm] ... ich möchte ja von $0$ verschiedene Lösungen für [mm] $\lambda$ [/mm]

Verstehe leider deinen Hinweis nicht ganz, ich hab versucht mir das klar zu machen und wie ich das benutzen könnte aber kannst du mir vllt. noch einen hinweis geben ... :) ?

Bezug
                
Bezug
Laplace Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Mo 03.11.2014
Autor: andyv

Hallo,

du zeigst  $  [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)}=c$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,a)$ und  $   [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] = [mm] \lambda-c [/mm]  $ [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] (0,b)$ für ein $c [mm] \in \IR$ [/mm] und löst die beiden ODEs bzw. die zugehörigen RWA.

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Laplace Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Mo 03.11.2014
Autor: c0d3x

An sowas hab ich auch schon gedacht
$ [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)}=c [/mm] $,
$ [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] = [mm] \lambda-c [/mm] $
aber ich weiss nicht wie ich da formal hinkomme ...
wie kommt denn das [mm] $\lambda [/mm] - c$ zustande ...

... :(


Bezug
                                
Bezug
Laplace Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 Mo 03.11.2014
Autor: andyv

Wäre $  [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] $ nicht konstant, so gäbe es [mm] $c_1, c_2 \in \IR$ [/mm] mit $  [mm] c_1 \equiv \frac{Y'' (y)}{Y (y)} \equiv c_2$ [/mm] und [mm] $c_1 \neq c_2$, [/mm] was absurd ist.

Aus $ [mm] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] + [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} \equiv \lambda \] [/mm] $ und $ [mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} \equiv [/mm] c $ folgt dann $ [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} \equiv \lambda-c [/mm] $.

Liebe Grüße

Bezug
                                
Bezug
Laplace Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:16 Di 04.11.2014
Autor: fred97


> An sowas hab ich auch schon gedacht
> [mm]\frac{X'' (x)}{X (x)}=c [/mm],
> [mm]\frac{Y'' (y)}{Y (y)} = \lambda-c[/mm]
>  aber ich weiss nicht wie
> ich da formal hinkomme ...
>  wie kommt denn das [mm]\lambda - c[/mm] zustande ...
>  
> ... :(

Wir haben  $ [mm] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] + [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] = [mm] \lambda \] [/mm] $  für alle x [mm] \in [/mm] [0,a]  und alle y [mm] \in [/mm] [0,b].

Nun sei [mm] y_0 \in [/mm] [0,b] zunächst fest. Dann haben wir

   $ [mm] \[ \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] =- [mm] \frac{Y'' (y_0)}{Y (y_0)} [/mm] + [mm] \lambda \] [/mm] $   für alle x [mm] \in [/mm] [0,a]

[mm] \frac{X'' (x)}{X (x)} [/mm] ist also konstant, etwa =c.

Wir haben also

    $ [mm] \[ [/mm] c =- [mm] \frac{Y'' (y_0)}{Y (y_0)} [/mm] + [mm] \lambda \] [/mm] $  für alle [mm] y_0 \in [/mm] [0,b]

Damit ist [mm] \frac{Y'' (y)}{Y (y)} [/mm] konstant = [mm] \lambda-c [/mm]

FRED

>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]