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| Aufgabe | Man löse folgendes Anfangswertproblem für die Funktion $y(t)$:
[mm] $y'+y=t^2*(H(t)-H(t-1))$ [/mm] $y(0)=2$ |
Hallo!
Also wie man die linke Seite der Dgl Laplace-transformiert ist mir klar,
mit [mm] L\left\{ \varphi' \right\} = s\Phi(s)-\varphi(0) [/mm]
und [mm] L\left\{ \varphi \right\} = \Phi(s) [/mm]
aber die Laplace Transformation auf der rechten Seite verwirrt micht.
Denn allgemein gilt ja:
[mm] L\left\{ H(t-b) * f(t-b) \right\} = e^-^b^s *F(s) [/mm]
das heißt dann also wenn zum Beispiel gesucht ist:
[mm] L\left\{ H(t-2) * (t-2) \right\}[/mm]
dann kann ich sagen:
[mm] b=2 [/mm]
[mm] f(t-2) = (t-2) [/mm]
also ist [mm] f(t) = t [/mm]
und [mm] F(s) = \bruch{1}{s^2}[/mm]
also ist dann:
[mm] L\left\{ H(t-2) * (t-2) \right\} = e^-^2^s * \bruch{1}{s^2} [/mm]
Meine erste Frage hierzu ist: Stimmt das so?
Nur bei meinem Beispiel habe ich ja [mm] t^2*(H(t)-H(t-1)) [/mm]
und ich habe mir gedacht, damit ich herausfinde was [mm] f(t) [/mm] ist könnte ich es ja umformen zu
[mm] t^2*H(t)-((t-1)^2 -1 +2t)*H(t-1) [/mm]
und dann weiter zu
[mm] t^2*H(t)-((t-1)^2 -1 +2*((t-1)+1))*H(t-1) [/mm]
und dann komme ich auf folgende [mm] f(t)[/mm] bzw. [mm] F(s)[/mm] :
[mm] f(t-0)=t^2 [/mm]
[mm] f(t)=t^2 [/mm]
[mm] F(s)=\bruch{2}{s^3} [/mm]
[mm] f(t-1)=(t-1)^2 [/mm]
[mm] f(t)=t^2 [/mm]
[mm] F(s)=\bruch{2}{s^3} [/mm]
[mm] f(t-1)=-1 [/mm]
[mm] f(t)=-1 [/mm]
[mm] F(s)=-\bruch{1}{s} [/mm]
[mm] f(t-1)=(t-1) [/mm]
[mm] f(t)=t [/mm]
[mm] F(s)=\bruch{1}{s^2} [/mm]
[mm] f(t-1)=1 [/mm]
[mm] f(t)=1 [/mm]
[mm] F(s)=\bruch{1}{s} [/mm]
Also wäre die Lösung dann:
[mm] L\left\{ t^2*(H(t)-H(t-1)) \right\} = \bruch{2}{s^3} - e^-^s * \left(\bruch{2}{s^3} -\bruch{1}{s}+2* \left( \bruch{1}{s^2} + \bruch{1}{s} \right)\right) [/mm]
und umgeformt:
[mm] = \bruch{2}{s^3} - e^-^s * \left(\bruch{2}{s^3} + \bruch{2}{s^2} + \bruch{1}{s} \right) [/mm]
Also:
Ist das richtig so wie ich das gemacht habe? Darf ich das einfach so herum formen wie ich will?
Und stimmen die Transformationen?
Danke schon mal im Voraus! 
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Strawberry1,
> Man löse folgendes Anfangswertproblem für die Funktion
> [mm]y(t)[/mm]:
>
> [mm]y'+y=t^2*(H(t)-H(t-1))[/mm] [mm]y(0)=2[/mm]
> Hallo!
> Also wie man die linke Seite der Dgl Laplace-transformiert
> ist mir klar,
> mit [mm]L\left\{ \varphi' \right\} = s\Phi(s)-\varphi(0)[/mm]
> und
> [mm]L\left\{ \varphi \right\} = \Phi(s)[/mm]
>
> aber die Laplace Transformation auf der rechten Seite
> verwirrt micht.
> Denn allgemein gilt ja:
>
> [mm]L\left\{ H(t-b) * f(t-b) \right\} = e^-^b^s *F(s)[/mm]
>
> das heißt dann also wenn zum Beispiel gesucht ist:
>
> [mm]L\left\{ H(t-2) * (t-2) \right\}[/mm]
>
> dann kann ich sagen:
> [mm]b=2[/mm]
> [mm]f(t-2) = (t-2)[/mm]
> also ist [mm]f(t) = t[/mm]
> und [mm]F(s) = \bruch{1}{s^2}[/mm]
>
> also ist dann:
>
> [mm]L\left\{ H(t-2) * (t-2) \right\} = e^-^2^s * \bruch{1}{s^2}[/mm]
>
> Meine erste Frage hierzu ist: Stimmt das so?
>
Ja.
>
>
> Nur bei meinem Beispiel habe ich ja [mm]t^2*(H(t)-H(t-1))[/mm]
> und ich habe mir gedacht, damit ich herausfinde was [mm]f(t)[/mm]
> ist könnte ich es ja umformen zu
>
> [mm]t^2*H(t)-((t-1)^2 -1 +2t)*H(t-1)[/mm]
>
> und dann weiter zu
>
> [mm]t^2*H(t)-((t-1)^2 -1 +2*((t-1)+1))*H(t-1)[/mm]
>
> und dann komme ich auf folgende [mm]f(t)[/mm] bzw. [mm]F(s)[/mm] :
>
> [mm]f(t-0)=t^2 [/mm]
> [mm]f(t)=t^2 [/mm]
> [mm]F(s)=\bruch{2}{s^3} [/mm]
>
>
> [mm]f(t-1)=(t-1)^2 [/mm]
> [mm]f(t)=t^2 [/mm]
> [mm]F(s)=\bruch{2}{s^3} [/mm]
>
> [mm]f(t-1)=-1 [/mm]
> [mm]f(t)=-1 [/mm]
> [mm]F(s)=-\bruch{1}{s} [/mm]
>
> [mm]f(t-1)=(t-1) [/mm]
> [mm]f(t)=t [/mm]
> [mm]F(s)=\bruch{1}{s^2} [/mm]
>
> [mm]f(t-1)=1 [/mm]
> [mm]f(t)=1 [/mm]
> [mm]F(s)=\bruch{1}{s} [/mm]
>
>
> Also wäre die Lösung dann:
>
> [mm]L\left\{ t^2*(H(t)-H(t-1)) \right\} = \bruch{2}{s^3} - e^-^s * \left(\bruch{2}{s^3} -\bruch{1}{s}+2* \left( \bruch{1}{s^2} + \bruch{1}{s} \right)\right) [/mm]
>
> und umgeformt:
> [mm]= \bruch{2}{s^3} - e^-^s * \left(\bruch{2}{s^3} + \bruch{2}{s^2} + \bruch{1}{s} \right) [/mm]
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also:
> Ist das richtig so wie ich das gemacht habe? Darf ich das
> einfach so herum formen wie ich will?
> Und stimmen die Transformationen?
Ja.
> Danke schon mal im Voraus!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
Gruss
MathePower
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Danke für die schnelle Antwort!
Super!!! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") Hätte mir nicht gedacht, dass das so stimmt.
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