Laplace Verteilung < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Drei Kugel werden auf 6 Fächer verteilt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "im ersten Fach liegt genau eine Kugel", wenn dieses Zufallsexperiment modelliert wird durch eine Laplace Verteilung mit Grundraum [mm] \Omega [/mm] bzw [mm] \Omega{II} [/mm] bzw. [mm] \Omega_{IV} [/mm] |
Auch bei dieser Aufgabe komme ich nicht so recht klar! Die Aufgaben machen mir echt zu schaffen. Mir fehlt wohl das logische denken, was ich wie anwenden muss.
Könnt ihr mir auch hier wieder Tipps geben?
Es muss sich hier wohl um ein bernoulli Experiment handeln!
[mm] P(X=k)=\vektor{n \\ k}*p^k*q^{n-k}
[/mm]
[mm] p=\bruch{1}{m}
[/mm]
[mm] q=\bruch{m-1}{m}
[/mm]
n Kugeln- 3
m Fächer- 6
aber was setze ich nun für k ein?
Und ich soll doch Laplace Verteilung mit Grundraum [mm] \Omega [/mm] bzw [mm] \Omega{II} [/mm] bzw. [mm] \Omega_{IV} [/mm] angeben. Was ist das hier in dem Fall?
Über Tipps wäre ich dankbar!
Mathegirl
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:31 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
liege ich mit dem Ansatz richtig?
Aber hier weiß ich nich nicht wie ich die Wahrscheinlichkeit bestimme, dass im ersten fach nur eine kugel liegt.
Würde mich über Tipps freuen!
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo mathegirl,
> Drei Kugel werden auf 6 Fächer verteilt.
> Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "im ersten
> Fach liegt genau eine Kugel", wenn dieses Zufallsexperiment
> modelliert wird durch eine Laplace Verteilung mit Grundraum
> [mm]\Omega[/mm] bzw [mm]\Omega{II}[/mm] bzw. [mm]\Omega_{IV}[/mm]
Was sind das für Grundräume?
> Auch bei dieser Aufgabe komme ich nicht so recht klar! Die
> Aufgaben machen mir echt zu schaffen. Mir fehlt wohl das
> logische denken, was ich wie anwenden muss.
>
> Könnt ihr mir auch hier wieder Tipps geben?
> Es muss sich hier wohl um ein bernoulli Experiment handeln!
> [mm]P(X=k)=\vektor{n \\ k}*p^k*q^{n-k}[/mm]
> [mm]p=\bruch{1}{m}[/mm]
> [mm]q=\bruch{m-1}{m}[/mm]
>
> n Kugeln- 3
> m Fächer- 6
>
> aber was setze ich nun für k ein?
Die Zufallsvariable X zählt bei dir die Anzahl der Kugeln im ersten Fach. Also solltest Du k=1 setzen.
>
> Und ich soll doch Laplace Verteilung mit Grundraum [mm]\Omega[/mm]
> bzw [mm]\Omega{II}[/mm] bzw. [mm]\Omega_{IV}[/mm] angeben. Was ist das hier in dem Fall?
Dazu kann ich dir ohne Wissen über diese Mengen leider keine Auskunft geben.
LG
|
|
|
| |
|
ich weiß leider auch nichts über die mengen...aber vielleicht kannst du mir erklären wie ich die wahrscheinlichkeit bestimmen kann, dass im ersten fach nur eine Kugel liegt?
[mm] \Omega_I, \Omega_II [/mm] und [mm] \Omega_{IV} [/mm] stehen sicher für die Fächer 1,2,6
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
> ich weiß leider auch nichts über die mengen...aber
> vielleicht kannst du mir erklären wie ich die
> wahrscheinlichkeit bestimmen kann, dass im ersten fach nur
> eine Kugel liegt?
Das hast Du schon richtig gemacht, indem Du die Binomialverteilung angewendet hast.
>
> [mm]\Omega_I, \Omega_II[/mm] und [mm]\Omega_{IV}[/mm] stehen sicher für die Fächer 1,2,6
Daraus erschließt sich mir leider immer noch nicht die Bedeutung für die Modellierung: Ich lasse die Frage auf "teilweise beantwortet".
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 23.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Kugel für Fach 1 entscheidet, ist [mm] \frac{1}{n}, [/mm] wobei n die Anzahl der Fächer sein soll. In diesem Fall ist also die Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{1}{6}. [/mm] Sollen sich m Kugeln in einem Fach befinden, so ist die Wahrscheinlichkeit [mm] \left(\frac{1}{6}\right)^m\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-m}. [/mm] In deinem Fall also [mm] \left(\frac{1}{6}\right)\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2.
[/mm]
Die Aufgabe ist einer Würfelaufgabe sehr ähnlich. Wie wahrscheinlich ist es, dass sich ein Würfel für eine bestimmte Seite entscheidet? Wie wahrscheinlich, dass mehrere Würfel sich für diese Seite entscheiden?
LG DRRDietrich
|
|
|
| |
|
das ein würfel nur auf einer bestimmten seite liegen bleibt ist [mm] \bruch{1}{6} [/mm] aber ich habe hier 3 Kugeln. da hab ich keine ahhnung. ich weiß wie du das mit dem Würfel meinst aber ich kann das auf dieses beispiel nicht übertragen.
mathegirl
|
|
|
| |
|
Eine Kugel kann in einer der 6 Schubladen liegen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in der 1. Schublade liegt, genau [mm] \frac{1}{\text{Anzahl der Schubladen}}=\frac{1}{6}.
[/mm]
Spielen wir das Spiel nun mit 3 Kugeln und wollen, dass eine Kugel in der 1. Schublade liegt, so wollen wir gleichzeitig, dass die anderen beiden Kugeln nicht in der 1. Schublade liegen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich genau eine Kugel in der 1. Schublade befindet gleich dem Produkt aus der Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel in der ersten Schublade liegt und zwei Kugeln sich nicht in der ersten Schublade befinden.
Die Wahrscheinlichkeit [mm] P(\text{1 Kugel liegt in 1. Schublade})=\frac{1}{6}
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit [mm] P(\text{2 Kugeln liegen NICHT in 1. Schublade})=\left(\frac{5}{6}\right)^2
[/mm]
Damit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit [mm] P=\frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{216}\approx0,1157
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:06 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Okay...verstanden. ich bin darauf nicht gekommen weil ich mich zu sehr an dem text "Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "im ersten Fach liegt genau eine Kugel", wenn dieses Zufallsexperiment modelliert wird durch eine laplace Verteilung mit dem Grundraum [mm] \Omega_I, \Omega_II, \Omega [/mm] _{IV}
ich weiß halt nicht was das mit diesen 3 Grundräumen zu tun hat.
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Mo 21.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Kugel für Fach 1
> entscheidet, ist [mm]\frac{1}{n},[/mm] wobei n die Anzahl der
> Fächer sein soll. In diesem Fall ist also die
> Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{6}.[/mm] Sollen sich m Kugeln in
> einem Fach befinden, so ist die Wahrscheinlichkeit
> [mm]\left(\frac{1}{6}\right)^m\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-m}.[/mm]
Nein!
Es gibt [mm] \binom{n}{m} [/mm] mögliche Ausgänge des Experiments, bei der m Kugeln im Fach 1 landen. Für jeden dieser Stichproben ist die Wahrscheinlichkeit zwar [mm] \left(\frac{1}{6}\right)^m\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-m}, [/mm] doch insgesamt summieren sich die Wahrscheinlichkeiten zu
[mm] \binom{n}{m}\left(\frac{1}{6}\right)^m\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-m}
[/mm]
auf (Binomialverteilung).
> In deinem Fall also
> [mm]\left(\frac{1}{6}\right)\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2.[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Die Aufgabe ist einer Würfelaufgabe sehr ähnlich. Wie
> wahrscheinlich ist es, dass sich ein Würfel für eine
> bestimmte Seite entscheidet? Wie wahrscheinlich, dass
> mehrere Würfel sich für diese Seite entscheiden?
>
> LG DRRDietrich
LG
|
|
|
| |
|
jetzt bin ich verwirrt....Kannst du mir vielleicht sagen wie die wahrscheinlichkeit lauten muss, weil so langsam bin ich echt verwirrt und mein papierstapel aus rechenversuchen stapelt sich schon...wobei nichts vernünftiges bei raus kommt :(
Mathegirl
|
|
|
| |
|
> jetzt bin ich verwirrt....Kannst du mir vielleicht sagen
> wie die wahrscheinlichkeit lauten muss, weil so langsam bin
> ich echt verwirrt und mein papierstapel aus rechenversuchen
> stapelt sich schon...wobei nichts vernünftiges bei raus kommt
Machen wir das mal sauber.
Der Raum der Elementarereignisse ist
[mm] \Omega=\{(w_1,w_2,w_3):w_i\in\{1,\ldots,6\}, 1\leq i\leq3\},
[/mm]
[mm] |\Omega|=6^3=216. [/mm] Ein Tupel [mm] (w_1,w_2,w_3) [/mm] bedeutet, dass die erste i. Kugel im Fach [mm] w_i [/mm] gelandet ist. Nach Annahme der Laplace-Wahrscheinlichkeit gilt für [mm] w\in\Omega:
[/mm]
[mm] P(w)=\frac{1}{|\Omega|}=\frac{1}{216}.
[/mm]
Wir suchen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
[mm] A_1=\{w=(w_1,w_2,w_3)\in\Omega: \mbox{genau ein } w_i \mbox{ ist }1 \}.
[/mm]
Wegen Laplace-WSK gilt
[mm] P(A_1)=\frac{|A_1|}{|\Omega|}.
[/mm]
[mm] |A_1| [/mm] bestimmen wir nun mit rein kombinatorischen Mitteln. Es gibt [mm] 3=\binom{3}{1} [/mm] Möglichkeiten, eine von den drei Kugeln auszuwählen, die in Fach 1 landen soll (hier ist der Fehler von DRRDietrich). Die jeweils verbleibenden beiden Kugeln können in eines der 5 anderen Schubfächer gelangen. Insgesamt gilt daher
[mm] |A_1|=\binom{3}{1}5^2\Rightarrow P(A_1)=\binom{3}{1}\frac{5^2}{216}=\binom{3}{1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^{3-2}.
[/mm]
Das war zu Fuß nachgerechnet, dass es sich hier tatsächlich um eine Anwendung der Binomialverteilung handelt.
Übrigens erkennt man auch, das DRRDietrichs Antwort falsch sein muss, wenn man seine Wahrscheinlichkeit und das vollständige System von Ereignissen [mm] A_i, 0\leq i\leq3 [/mm] betrachtet. Dabei ist [mm] A_i [/mm] das Ereignis, dass genau i Kugeln im Fach 1 landen.
Das es sich um ein vollständiges System handelt, müsste die Summe der Wahrscheinlichkeiten der [mm] A_i [/mm] eins ergeben, mit den von DRRDietrich angebenen erhält man aber
[mm] \sum_{i=0}^3 P(A_i)=\sum_{i=0}^3\left(\frac{1}{6}\right)^i\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{3-i}=\frac{156}{216}\neq1.
[/mm]
Diese Wahrscheinlichkeiten für die [mm] A_i [/mm] können also gar nicht stimmen.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:40 Di 22.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Vielen Dank fürs erklären. jetzt schein es für mich auch logisch!! Danke!!
mathegirl
|
|
|
|
