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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Fr 13.05.2011 | | Autor: | hitch |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für [mm] $\vec{r} [/mm] = (x,y) [mm] \in \IR^{2}$, \parallel\vec{r}\parallel \not= [/mm] 0, die Funktion
$u(x,y) = [mm] -ln\parallel\vec{r}\parallel$
[/mm]
eine Lösung der Laplacegleichung
[mm] $\Delta [/mm] u := [mm] \bruch{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} [/mm] = 0$
ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe leider große Schwierigkeiten mit diesem Beispiel.
Ich hab mir gedacht, ich zerteile mal die Laplacegleichung und mach nur mal eine partielle Ableitung:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}
[/mm]
Ich denke, wenn ich das verstehe, klappts auch mit dem Rest.
Ich habe also die Funktion [mm] $u(x,y)=-ln||\vec{r}||$
[/mm]
[mm] \vec{r} [/mm] ist doch [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] und das kann ich doch anschreiben als x+y oder?
Also die Funktion $u(x,y)=-ln||x+y||$ ableiten:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0):
[/mm]
[mm] $u_1(x) [/mm] = [mm] -ln||x+y_0||$
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) [/mm] = [mm] f^{(1)} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x}
[/mm]
Jetzt noch für den 2. Teil der Gleichung:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0):
[/mm]
[mm] $u_2(y) [/mm] = [mm] -ln||x_0+y||$
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) [/mm] = [mm] f^{(1)} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{y}
[/mm]
Kann man das so machen?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Sa 14.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
NEIIN: [mm] ||\overrightarrow{r}|| \not= [/mm] || x + y||
...sondern [mm] ||\overrightarrow{r}|| [/mm] = [mm] \wurzel{x^{2} + y^{2}}
[/mm]
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Sa 14.05.2011 | | Autor: | hitch |
Ich danke dir!
Gut dann hab ich die Funktion $ [mm] u(x,y)=-ln(\wurzel{x^{2}+y^{2}}) [/mm] $ und diese leite ich nun ab:
$ [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0): [/mm] $
$ [mm] u_1(x) [/mm] = [mm] -ln(\wurzel{x^{2}+y_0^{2}}) [/mm] $
Das [mm] y_0^{2} [/mm] fällt ja weg und ich leite nur nach x ab oder?
Somit hab ich [mm] u_1^{(1)} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x}.
[/mm]
Die zweite Ableitung wäre dann: [mm] u_1^{(2)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
Stimmts nun?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Sa 14.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich danke dir!
>
> Gut dann hab ich die Funktion
> [mm]u(x,y)=-ln(\wurzel{x^{2}+y^{2}})[/mm] und diese leite ich nun
> ab:
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0):[/mm]
> [mm]u_1(x) = -ln(\wurzel{x^{2}+y_0^{2}})[/mm]
>
> Das [mm]y_0^{2}[/mm] fällt ja weg und ich leite nur nach x ab
> oder?
> Somit hab ich [mm]u_1^{(1)}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{x}.[/mm]
>
> Die zweite Ableitung wäre dann: [mm]u_1^{(2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
>
>
> Stimmts nun?
Nein. für die Ableitung nach x betrachte y als Konstante und leite $ [mm] u(x,y)=-ln(\wurzel{x^{2}+y^{2}}) [/mm] $ nach x ab.
FRED
>
> Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 So 15.05.2011 | | Autor: | hitch |
Ich danke dir. Habs dann doch noch hingekriegt!
Lg
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