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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Sa 26.01.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | Gesucht ist die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion:
[mm] f(t) = cosh\alpha t * cosh\beta t[/mm]
[mm]\alpha, \beta \in \IC [/mm] |
Hallo zusammen:
Mit: [mm]cosh\alpha t = \bruch{e^{\alpha t} + e^{-\alpha t}}{2}[/mm]
erhalte ich:
[mm] f(t) = \bruch{e^{\alpha t} + e^{-\alpha t}}{2} * cosh\beta t[/mm]
[mm] f(t) = \bruch{1}{2}*(e^{\alpha t}*cosh\beta t + e^{-\alpha t}*cosh\beta t) [/mm]
Mit der Dämpfungsregel:
[mm]L[e^{\alpha t}f(t)](s) = L[f(t)]*(s-\alpha) [/mm]
erhalte ich:
[mm]L[f(t)](s) = \bruch{1}{2}*[L[cosh\beta t](s-\alpha) + L[cosh\beta t](s+\alpha)] [/mm]
Die laplace-Transformierte von [mm] cosh\beta t [/mm] ist [mm]\bruch{s}{s^{2}-\beta^{2}}[/mm] also:
[mm]L[f(t)](s) = \bruch{1}{2}*[\bruch{s}{s^{2}-\beta^{2}}*(s-\alpha) + \bruch{s}{s^{2}-\beta^{2}}*(s+\alpha)][/mm]
[mm]L[f(t)](s) = \bruch{1}{2}*[\bruch{s^{2}-s\alpha}{s^{2}-\beta^{2}} + \bruch{s^{2}+s\alpha}{s^{2}-\beta^{2}}][/mm]
[mm]L[f(t)](s) = \bruch{1}{2}*[\bruch{s^{2}-s\alpha+s^{2}+s\alpha}{s^{2}-\beta^{2}} ][/mm]
[mm]L[f(t)](s) = \bruch{1}{2}*[\bruch{2*s^{2}}{s^{2}-\beta^{2}} ][/mm]
[mm]L[f(t)](s) = \bruch{s^{2}}{s^{2}-\beta^{2}}[/mm]
Kann das stimmen? Laut Skript kommt ein anderes Ergebnis heraus, aber mein Lösungsweg scheint mir plausibel zu sein. Habe ich irgendwo einen Fehler?
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mo 28.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Andreas!
> Gesucht ist die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion:
>
> [mm]f(t) = cosh\alpha t * cosh\beta t[/mm]
>
> [mm]\alpha, \beta \in \IC[/mm]
> Hallo zusammen:
>
> Mit: [mm]cosh\alpha t = \bruch{e^{\alpha t} + e^{-\alpha t}}{2}[/mm]
>
> erhalte ich:
>
> [mm]f(t) = \bruch{e^{\alpha t} + e^{-\alpha t}}{2} * cosh\beta t[/mm]
>
> [mm]f(t) = \bruch{1}{2}*(e^{\alpha t}*cosh\beta t + e^{-\alpha t}*cosh\beta t)[/mm]
>
> Mit der Dämpfungsregel:
>
> [mm]L[e^{\alpha t}f(t)](s) = L[f(t)]*(s-\alpha)[/mm]
Das ist nicht richtig. Da steht nicht "multipliziert mit [mm](s-\alpha)[/mm], sondern "an der Stelle [mm](s-\alpha)[/mm]: ist F(s) die Laplacetransformierte von f(t) so ist [mm]F(s-\alpha)[/mm] die Laplacetransformierte von [mm]e^{\alpha t}f(t)[/mm].
Du kannst es dir viel einfacher machen, in dem du beide [mm]\cosh[/mm] als Exponentialfunktionen schreibst, zusammenfasst, die Laplacetransformierten der vier entstehenden Summanden ausrechnest und die Brüche auf den Hauptnenner bringst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:40 Mo 28.01.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für Deine Antwort.
> Du kannst es dir viel einfacher machen, in dem du beide
> [mm]\cosh[/mm] als Exponentialfunktionen schreibst, zusammenfasst,
> die Laplacetransformierten der vier entstehenden Summanden
> ausrechnest und die Brüche auf den Hauptnenner bringst.
>
> Viele Grüße
> Rainer
OK, soweit klar. Damit wird es also insgesamt zu:
[mm] f(t) = \bruch{e^{\alpha t} + e^{-\alpha t}}{2} * \bruch{e^{\beta t} + e^{-\beta t}}{2} [/mm]
[mm] f(t)=\bruch{1}{4}*[(e^{\alpha t} + e^{-\alpha t}}) * ({e^{\beta t} + e^{-\beta t}})] [/mm]
[mm] f(t)=\bruch{1}{4}*(e^{\alpha t}*e^{\beta t} + e^{\alpha t}*e^{-\beta t} + e^{-\alpha t}*e^{\beta t} + e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}) [/mm]
[mm] f(t)=\bruch{1}{4}*(e^{t*(\alpha+\beta}) + e^{t*(\alpha-\beta}) + e^{t*(-\alpha+\beta)} + e^{t*(-\alpha-\beta)}) [/mm]
[mm] f(t)=\bruch{1}{4}*(e^{-t*(-\alpha-\beta}) + e^{-t*(-\alpha+\beta}) + e^{-t*(\alpha-\beta)} + e^{-t*(\alpha+\beta)}) [/mm]
Die Zeitfunktion [mm] f(t)=e^{-t*a} [/mm] ergibt ja die Bildfunktion [mm] F(s) = \bruch{1}{s+a} [/mm].
Damit ergibt sich insgesamt:
[mm] L(s) = \bruch{1}{4}* [\bruch{1}{s-\alpha-\beta} + \bruch{1}{s-\alpha+\beta} + \bruch{1}{s+\alpha-\beta} + \bruch{1}{s+\alpha+\beta}][/mm]
Ist das korrekt? Aber wie sieht der Hauptnenner aus?
Viele Grüße und noch Mal: vielen Dank!
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 03.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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