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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:45 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Pidgin |
Hallo alle zusammen! Für meine Frage muss man sich eigentlich nicht mit der Methode auskennen, sondern nur wissen wie man eine DGL mittels Finiten Differenzen diskretisiert.
Ich beschäftige mich gerade mit der Herleitung der Lattice Boltzmann Methode aus der Boltzmann DGL. Ist eigentlich nicht kompliziert, aber ich verstehe einen Schritt nicht.
Zum Verständnis eigentlich nicht nötig, aber der Vollständigkeit halber f ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von Teilchen an der Stelle x zum Zeitpunkt t mit Geschwindigkeit v.
BGK-Boltzmann DGL:
[mm] \frac{\partial f(x,t,v)}{\partial t} [/mm] + v [mm] \cdot \nabla_x$f(x,t,v)$ [/mm] = [mm] -\frac{1}{\tau}(f(x,t,v) [/mm] - [mm] f^{(eq)})
[/mm]
Jetzt wird die Gleichung im Geschwindigkeitsraum [mm] v_i [/mm] i=1 .. n diskretisiert: [mm] f_i(x,t) [/mm] =: [mm] f(x,t,v_i)
[/mm]
[mm] \frac{\partial f_i(x,t)}{\partial t} [/mm] + [mm] v_i \cdot \nabla_x f_i(x,t) [/mm] = [mm] -\frac{1}{\tau} (f_i(x,t) [/mm] - [mm] f_i^{(eq)})
[/mm]
Anschließend verwendet man einen expliziten Differenzenquotienten in t und ein Finite Fifferenzen Schema in x um die DGL zu diskretisieren: x ist ein 3-dimensionaler Vektor.
[mm] \frac{f_i(x,t+\delta t) - f_i(x,t)}{\delta t} [/mm] + [mm] v_{i\tilde x} \cdot \frac{f_i(x+\delta \tilde x, t+\delta t) - f(x,t+\delta t)}{\delta \tilde{x}} [/mm] + [mm] v_{i\tilde y} \cdot \frac{f_i(x+\delta \tilde y, t+\delta t) - f(x,t+\delta t)}{\delta \tilde y} +v_{i\tilde z} \cdot \frac{f_i(x+\delta \tilde z, t+\delta t) - f(x,t+\delta t)}{\delta \tilde z} [/mm] = [mm] -\frac{1}{\tau} (f_i(x,t) [/mm] - [mm] f_i^{(eq)})
[/mm]
Wieso wertet man beim Finiten Differenzenquotient in x, f an der Stelle t + [mm] \delta [/mm] t aus? Ich würde es verstehen, wenn man die ganze Gleichung an der Stelle t + [mm] \delta [/mm] t auswertet, aber die rechte Seite der Gleichung wird ja nach wie vor an t evaluiert. Wie lässt sich das erklären? Die Diskretisierung in t ist mir übrigens klar.
Danke im Vorraus.
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Hallo,
nimm an, du hast eine PDG nach dem Schema
$ [mm] u_t [/mm] + A (u) = f $,
wobei [mm] $u_t$ [/mm] die Zeitableitung ist, $A$ ein Differentialoperator mit räumlichen Ableitungen und $f$ ein Term niederer Ordnung. Sei weiterhin $u$ an der Stelle $(t,x)$ schon berechnet.
Den [mm] $u_t$-Term [/mm] diskretisiert man nun häufig einfach durch
[mm] $u_t\approx \frac{u(t+\delta_t,x) - u(t,x)}{\delta_t}$
[/mm]
Die Frage ist nun, wertet man die übrigen Terme der Gleichung zur Zeit $t$ oder zur Zeit [mm] $t+\delta_t$ [/mm] aus. Am einfachsten ist die erstere Variante, das sind (grob gesagt) die expliziten Diskretisierungsverfahren. In diesem Fall ergibt sich der Zeitschritt häufig durch elementare Matrix/Vektor-Operationen. Der Nachteil: solche Verfahren sind üblicherweise numerisch nicht sehr stabil und der Zeitschritt muss klein sein.
Wertet man dagegen die $A$ und $f$ Terme zur Zeit [mm] $t+\delta_t$ [/mm] aus, erhält man ein implizites Verfahren. Solche Verfahren sind stabiler, erfordern aber im schlimmsten Fall das Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems.
Oft wählt man einen Mittelweg (semi-implizit), so dass nur ein lineares Gleichungssystem gelöst werden muss. Dies scheint mir in deinem Beispiel der Fall zu sein. Auch was stabilität angeht, liegen diese methoden zwischen den expliziten und den impliziten.
Gruss
Matthias
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:26 Do 28.07.2011 | | Autor: | Pidgin |
Mhmm ein semi-implizites Verfahren ist es ja auch irgendwie nicht. Ich habe mir jetzt mal das semi-implizite Crank-Nicholson Verfahren angeschaut, welches noch am ehesten in Frage kommt:
Das macht aber aus deiner DGL [mm] u_t [/mm] = f - A(u):
[mm] \frac{u(t+\delta t, x) - u(t,x)}{t} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] $ [mm] [f(t+\delta [/mm] t,x) - [mm] A(u(t+\delta [/mm] t,x)) + f(t,x) - A(u(t,x))]$
Und das sieht ja leider nicht nach meiner Gleichung aus meinem ersten Post aus. Ich bin also immer noch ratlos wie ich die Herleitung aus meinem ersten Post erklären kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 02.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 29.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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