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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Mo 23.02.2009 | | Autor: | didi1985 |
| Aufgabe | Ist die analytische Funktion f in einer geeigneten punktierten Umgebung von a beschränkt, dann besitzt f in a eine hebbare Singularität.
Beweis: o.B.d.A a=0. Dann ist Laurentzerlegung von der Form f(z)= g(z) + h(1/z). Dabei ist in diesem Falle h eine in ganz C analytische Funktion. Sie ist beschränkt, da f in der Nähe von O beschränkt ist, nach dem Satz von Liouville also konstant. |
Hi! Ich habe diesen Beweis nicht vollständig verstanden.
1) Warum ist h eine ganze Funktion? Hier hab ich eine Vermutung: Ich betrachte eine Úmgebung um 0, etwa eine e-Umgebung (geeignet). Das bedeutet für den Def.bereich von h: alle Werte von z (im Betrag), die kleiner als 1/e sind? Das hieße ja praktisch alle Werte, die im Betrag kleiner als unendlich sind, daher Wertebereich C, also ganze Funktion, richtig?
2)Ich verstehe nicht, warum h auf ganz C (denn nur dann würde der Satz von Liuoville gelten) beschränkt sein soll, nur weil f um 0 beschränt ist.
Wäre nett, wenn mir da jemand von euch weiterhelfen könnte
Gruß,
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Di 24.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ist die analytische Funktion f in einer geeigneten
> punktierten Umgebung von a beschränkt, dann besitzt f in a
> eine hebbare Singularität.
> Beweis: o.B.d.A a=0. Dann ist Laurentzerlegung von der
> Form f(z)= g(z) + h(1/z). Dabei ist in diesem Falle h eine
> in ganz C analytische Funktion. Sie ist beschränkt, da f in
> der Nähe von O beschränkt ist, nach dem Satz von Liouville
> also konstant.
> Hi! Ich habe diesen Beweis nicht vollständig verstanden.
> 1) Warum ist h eine ganze Funktion? Hier hab ich eine
> Vermutung: Ich betrachte eine Úmgebung um 0, etwa eine
> e-Umgebung (geeignet). Das bedeutet für den Def.bereich von
> h: alle Werte von z (im Betrag), die kleiner als 1/e sind?
Wenn f und g analytisch und beschränkt sind, muss auch h analytisch und beschränkt sein.
g ist als analytische Funktion innerhalb der genannten Umgebung beschränkt. Also ist h für $|z|<e$ und damit für $|1/z|>1/e$ analytisch und beschränkt. Also ist h außerhalb eines Kreises vom Radius e analytisch und beschränkt.
> Das hieße ja praktisch alle Werte, die im Betrag kleiner
> als unendlich sind, daher Wertebereich C, also ganze
> Funktion, richtig?
> 2)Ich verstehe nicht, warum h auf ganz C (denn nur dann
> würde der Satz von Liuoville gelten) beschränkt sein soll,
> nur weil f um 0 beschränt ist.
Es bleibt ja nur der Kreis vom Radius e. Da der kompakt ist, ist h als stetige Funktion dort auch beschränkt. Also ist h in ganz [mm] $\IC$ [/mm] beschränkt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Di 24.02.2009 | | Autor: | didi1985 |
Danke! Das mit dem stetig und kompakt= beschränkt ist ja eigentlich klar, habs aber vergessen. Nun noch eine Frage: Du sprichst davon, dass h außerhalb eines Kreises von e analytisch und beschränkt ist. Müsste das nicht 1/e sein? Sonst hab ich aber alles verstanden
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Di 24.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke! Das mit dem stetig und kompakt= beschränkt ist ja
> eigentlich klar, habs aber vergessen. Nun noch eine Frage:
> Du sprichst davon, dass h außerhalb eines Kreises von e
> analytisch und beschränkt ist. Müsste das nicht 1/e sein?
Ja, hast recht, da war ich zu schnell beim Abschicken
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Do 26.02.2009 | | Autor: | didi1985 |
ok - dankeschön
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