www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationLaurentreihe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Integration" - Laurentreihe
Laurentreihe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Sa 22.09.2007
Autor: LL0rd

Aufgabe
Man soll folgendes Integral lösen:

[mm] \integral_{|z|=3}{ \bruch{e^{\bruch{1}{z}} }{(z-1)^2 -1 } dz} [/mm]

Hallo,

diese Aufgabe habe ich aus einer alten Prüfung rausgefischt. Es geht da um das Lösen von Integralen mittels des Residuensatzes. Wenn ich die Aufgabe jetzt mal einfach anfange zu rechnen, dann suche ich die Singularitäten heraus. Ich sehe hier zwei einfache Polstellen bei 2 und 0. Und hier fängt das eigentliche Problem auch schon an. Im Zähler des Bruches habe ich ja ein [mm] \bruch{1}{z} [/mm] stehen. Also kann ich mit der Null nicht auf die 0815-Art rechnen.

Bei der 2 ist das ganze ja kein Problem:
[mm] Res(f;2)=\bruch{1}{2} e^{\bruch{1}{2}} [/mm]

In der Musterlösung wird Res(f;0) mittels der Laurentreine bestimmt. Das Ergebnis ist:

[mm] Res(f;0)=-\bruch{1}{2} e^{\bruch{1}{2}} [/mm]

Aber wie kommt man denn darauf? Ich verstehe nicht ganz, wie ich das Ganze mit der Reihe lösen kann. Klar, ich nehme mir die Reihe vor, setze dort dann das 1/z ein, aber was mache ich denn damit weiter? Kann mir jemand da etwas helfen? Danke!


        
Bezug
Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Sa 22.09.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Man soll folgendes Integral lösen:
>  
> [mm]\integral_{|z|=3}{ \bruch{e^{\bruch{1}{z}} }{(z-1)^2 -1 } dz}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> diese Aufgabe habe ich aus einer alten Prüfung
> rausgefischt. Es geht da um das Lösen von Integralen
> mittels des Residuensatzes. Wenn ich die Aufgabe jetzt mal
> einfach anfange zu rechnen, dann suche ich die
> Singularitäten heraus. Ich sehe hier zwei einfache
> Polstellen bei 2 und 0. Und hier fängt das eigentliche
> Problem auch schon an. Im Zähler des Bruches habe ich ja
> ein [mm]\bruch{1}{z}[/mm] stehen. Also kann ich mit der Null nicht
> auf die 0815-Art rechnen.

Richtig, denn [mm]\exp(1/z)[/mm] hat eine wesentliche Singularität im Punkt z=0.

> Bei der 2 ist das ganze ja kein Problem:
>  [mm]Res(f;2)=\bruch{1}{2} e^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>  
> In der Musterlösung wird Res(f;0) mittels der Laurentreine
> bestimmt. Das Ergebnis ist:
>  
> [mm]Res(f;0)=-\bruch{1}{2} e^{\bruch{1}{2}}[/mm]

Das ist meiner Meinung nach falsch.

> Aber wie kommt man denn darauf? Ich verstehe nicht ganz,
> wie ich das Ganze mit der Reihe lösen kann. Klar, ich nehme
> mir die Reihe vor, setze dort dann das 1/z ein, aber was
> mache ich denn damit weiter? Kann mir jemand da etwas
> helfen? Danke!

Als erstes schreibst du den Nenner um, dann benutzt due die Reihenentwicklung für die Exponentialfunktion und die geometrische Reihe:

[mm]\bruch{\mathrm{e}^{1/z}}{z(z-2)} = \bruch{1}{2z^2} \bruch{1}{1-\bruch{1}{2z}}\mathrm{e}^{1/z}= \bruch{1}{2}\bruch{1}{z^2} \left(\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{(2z)^i}\right) \left(\summe_{j=0}^\infty \bruch{1}{j!} \bruch{1}{z^j}\right)[/mm]

Jetzt siehst du, dass der erste Term der Laurentreihe [mm]z^{-2}[/mm] ist, denn beide unendlichen Summen fangen mit einem konstanten Glied an. Also ist das Residuum im Punkt z=0 Null.

Es geht aber viel einfacher: Substituiere u=1/z:

[mm]\integral_{|z|=3}{ \bruch{e^{\bruch{1}{z}} }{(z-1)^2 -1 } dz} = -\integral_{|u|=1/3} {\bruch{e^{u} }{1-2u} du}[/mm]

Das zweite Integral lässt sich etwas einfacher ausrechnen. ;-)

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]