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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Dr.Ogen |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Laurentreihe der Funktion um den Entwicklungspunkt [mm] z_0=0 [/mm] und geben sie deren Konvergenzradius an.
[mm] f(z)=\bruch{1}{z*(z^2+1)} [/mm] |
Also mit PBZ (bitte mal kurz checken) komme ich auf:
[mm] \bruch{1}{z}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{z+i}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{z-i}
[/mm]
Wenn ich weiterrechne (mit geometrischer Reihe) komme ich auf:
[mm] \bruch{1}{z}+\summe_{n=0}^{\infty}(-1/2z)*(-i/z)^n+\summe_{n=0}^{\infty}(-1/2z)*(i/z)^n
[/mm]
also meine Frage jetzt:
Wie, wann und warum kann ich die Summen zusammenziehen und was gibts dabei zu beachten? Was mach ich überhaupt mit dem ersten Summand 1/z ? Irgendwie steh ich auf dem Schlauch... gebt mal Denkanstöße, ist irgendwie schon spät...
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Mi 07.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen sie die Laurentreihe der Funktion um den
> Entwicklungspunkt [mm]z_0=0[/mm] und geben sie deren
> Konvergenzradius an.
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(z^2+1)}[/mm]
> Also mit PBZ (bitte mal kurz checken) komme ich auf:
>
> [mm]\bruch{1}{z}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{z+i}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{z-i}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich weiterrechne (mit geometrischer Reihe) komme ich
> auf:
>
> [mm]\bruch{1}{z}+\summe_{n=0}^{\infty}(-1/2z)*(-i/z)^n+\summe_{n=0}^{\infty}(-1/2z)*(i/z)^n[/mm]
Dabei hast du aber die Brüche (außer dem ersten) um [mm]z_0=\infty[/mm] entwickelt, nicht um 0.
> also meine Frage jetzt:
>
> Wie, wann und warum kann ich die Summen zusammenziehen und
> was gibts dabei zu beachten?
Die Summanden zu geradem n sind in beiden Summen gleich, die ungeraden heben sich weg.
Das kannst du so machen, aber die geometrische Reihe kannst du direkt anwenden:
[mm]\bruch{1}{z*(z^2+1)} = \bruch{1}{z}*\summe_{n=0}^\infty (-z^2)^n = \bruch{1}{z} *\summe_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \summe_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n-1}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Dr.Ogen |
Ohje. Da wollt ich den komplizierten Weg gehen, wenns auch der einfache tut. Hast ja recht, einfach direkt die geometrische Reihe anwenden...
Ich Dank Dir, Rainer!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Do 08.11.2007 | | Autor: | Nr.4 |
Und wie sieht jetzt der Konvergenzbereich für diese Reihe aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Fr 09.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was hast du dazu überlegt? Denk an die Forenregeln!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Nr.4 |
Ich hab keine ahnung, deswegen hab ich ja gefragt!
aber die reihe hab ich selber hingekriegt *g*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Sa 10.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich hab keine ahnung, deswegen hab ich ja gefragt!
> aber die reihe hab ich selber hingekriegt *g*
OK, dann hast du ja die geometrische Reihe benutzt. Welchen Konvergenzradius hat denn die geometrische Reihe?
Allgemeiner: Wodurch wird der Konvergenz(kreis)ring einer Laurentreihe begrenzt?
Oder du kannst den Konvergenzradius durch die Formel von Cauchy-Hadamard bestimmen: wenn [mm]a_n[/mm] für [mm]n>0[/mm] den Koeffizienten von [mm]z^n[/mm] bezeichent so ist der äußere Radius des Kreisringes:
[mm]\bruch{1}{\mathop{\lim\sup}\limits_{n\rightarrow \infty} |a_n|^{1/n}}[/mm]
Bei dieser Reihe ist das ganz einfach, weil die Folge [mm]|a_n|^{1/n}[/mm] konvergiert.
Viele Grüße
Rainer
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