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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:28 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Entwickeln sie die Funktion
[mm] $f(z)=\frac{1}{(z^2-1)(z+2)}$
[/mm]
in eine Laurentreihe um $1$. |
Hallo an alle,
ich präsentiere zunächst einmal meine Lösung. Da meine anderen (hier nicht präsentierten) Berechnungen zeigen, dass die Laurentreihe [mm] $a_{-1}=-\frac{1}{6}$ [/mm] (EDIT: Dort sollte [mm] $a_{-1}=\frac{1}{6}$ [/mm] stehen) erfüllen muss, werde ich irgendwo einen Fehler in meiner nachfolgenden Lösung gemacht haben. Es wäre daher super, wenn jemand diesen Fehler findet.
Danke und Gruß
[mm] \textbf{LÖSUNG:}
[/mm]
Die Funktion
[mm] $f(z)=\frac{1}{(z^2-1)(z+2)}=\frac{1}{(z-1)(z+1)(z+2)}$
[/mm]
besitzt in den Punkten $-2,-1,1$ drei Singularitäten (Polstellen der 1. Ordung). Die Laurent-Entwicklung wird in
[mm] $R_{3,\infty}(1)=\{z\in\IC\mid 3<\left|z-1\right|<\infty\}$
[/mm]
durchgeführt.
[mm] \textit{\underline{1. Schritt:}} [/mm] (Partialbruchzerlegung, PBZ)
Bemerke: Da wir eine Laurententwicklung um $1$ vornehmen und die Laurentreihe Terme der Art [mm] $(z-1)^n$ [/mm] aufweist, werden wir den Term [mm] $\frac{1}{(z-1)}$ [/mm] bei der Partialbruchzerlegung nicht weiter berücksichtigen.
[mm] $\frac{1}{(z+1)(z+2)}\overset{!}{=}\frac{A}{(z+1)}+\frac{B}{(z+2)}=\frac{(A+B)z+(2A+B)}{(z+1)(z+2)}$
[/mm]
Wir erhalten die zwei Bedingungen
[mm] $\text{(1): }A+B=0$
[/mm]
[mm] $\text{(2): }2A+B=1$
[/mm]
Da diese zwei Gleichungen die Lösungen $A=1$ und $B=-1$ besitzen, folgt die PBZ
[mm] $\frac{1}{(z+1)(z+2)}=\frac{1}{(z+1)}-\frac{1}{(z+2)}\quad\forall\,z\in\IC\backslash\{-2,-1\}$
[/mm]
[mm] \textit{\underline{2. Schritt:}} [/mm] (Laurentreihenentwicklung in [mm] $R_{3,\infty}(1)$)
[/mm]
1. Wir führen zunächst die Laurent-Entwicklung von [mm] $\frac{1}{(z+1)(z+2)}$ [/mm] in [mm] $R_{3,\infty}(1)$ [/mm] durch. Man beachte dabei, dass wir (da [mm] $R_{3,\infty}(1)$ [/mm] den Mittelpunkt $1$ besitzt) den Nenner geeignet ergänzen, ehe wir die geometrische Reihe anwenden:
[mm] $\frac{1}{(z+1)}=\frac{1}{(z-1)+2}=(z-1)^{-1}\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac{2}{z-1}\right)}=(z-1)^{-1}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{2}{z-1}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=(z-1)^{-1}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(-2)^n(z-1)^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-2)^n(z-1)^{-n-1}=\sum_{n=-1}^{-\infty}(-2)^{-n-1}(z-1)^{n}$
[/mm]
Dabei liegt die Begründung der Anwendung der geometrischen Reihe in [mm] $R_{3,\infty}(1)$ [/mm] verborgen, denn es gilt:
[mm] $\left|-\frac{2}{(z-1)}\right|<1\;\Longleftrightarrow\;2<\left|z-1\right|$
[/mm]
Auf die selbe Weise erhalten wir:
[mm] $\frac{1}{(z+2)}=\frac{1}{(z-1)+3}=(z-1)^{-1}\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{z-1}\right)}=(z-1)^{-1}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{3}{z-1}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=(z-1)^{-1}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(-3)^n(z-1)^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-3)^n(z-1)^{-n-1}=\sum_{n=-1}^{-\infty}(-3)^{-n-1}(z-1)^{n}
[/mm]
Auch in diesem Fall liegt die Begründung der Anwendung der geometrischen Reihe in [mm] $R_{3,\infty}(1)$ [/mm] verborgen, denn es gilt:
[mm] $\left|-\frac{3}{(z-1)}\right|<1\;\Longleftrightarrow\;3<\left|z-1\right|$
[/mm]
Damit erhalten wir zunächst einmal
[mm] $\frac{1}{(z+1)(z+2)}=\frac{1}{(z+1)}-\frac{1}{(z+2)}=\sum_{n=-1}^{-\infty}(-2)^{-n-1}(z-1)^{n}-\sum_{n=-1}^{-\infty}(-3)^{-n-1}(z-1)^{n}$
[/mm]
[mm] $=\sum_{n=-1}^{-\infty}\left((-2)^{-n-1}-(-3)^{-n-1}\right)(z-1)^n$
[/mm]
2. Die vollständige Laurentreihen-Entwicklung erhalten wir jetzt aus unseren bisherigen Resultaten, der Multiplikation mit dem
zunächst vernachlässigtem Term [mm] $\frac{1}{(z-1)}$ [/mm] und einer Indexverschiebung durch
[mm] $\frac{1}{(z^2-1)(z+2)}=\frac{1}{(z-1)}\cdot\frac{1}{(z+1)(z+2)}=(z-1)^{-1}\cdot\sum_{n=-1}^{-\infty}\left((-2)^{-n-1}-(-3)^{-n-1}\right)(z-1)^n
[/mm]
[mm] $=\sum_{n=-1}^{-\infty}\left((-2)^{-n-1}-(-3)^{-n-1}\right)(z-1)^{n-1}$=\sum_{n=-2}^{-\infty}\left((-2)^{-n-2}-(-3)^{-n-2}\right)(z-1)^{n}
[/mm]
[mm] $\quad\forall\,z\in R_{3,\infty}(1)$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Denny22 |
Kann mir hierbei trotz des ausführlichen Lösungsweg niemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Di 07.07.2009 | | Autor: | Denny22 |
Ich habe die zwei Fehler gefunden. Damit ist die Frage geklaert.
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