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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Fr 05.08.2011 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Sei D = {z [mm] \in \IC [/mm] / 0<|z-1| < 2} und f: D--> [mm] \IC [/mm] definiert durch
f(z) = [mm] \bruch{1}{z^2 - 1}
[/mm]
Begründen sie, warum f auf D durch eine eindeutig bestimmte Laurentreihe mit Entwicklungspunkt 1 dargestellt wird, geben sie diese Laurentreihe an und bestimmen sie das Residuum von f in 1. |
Hallo miteinander,
ich habe mir schonmal ein paar Gedanken dazu gemacht.
Erstmal zum Definitionsbereich: Das ist ja das gleiche wie: 1<|z|<3
Die Laurentreihe ist eindeutig, weil f auf dem Kreisring mit innerem Radius 1 und äußerem Radius 3 holomorph ist. Stimmt das?
Dann zur Laurentreihe:
Erstmal Partialbruchzerlegung:
f(z) = [mm] \bruch{0,5}{z-1} [/mm] - [mm] \bruch{0,5}{z+1}
[/mm]
So nun muss ich jeden dieser 2 Terme durch geschicktes ausklammern auf eine geometrische Reihe bringen, sodass die eine für |z| > 1 konvergiert und die andere für |z| < 3 konvergiert. Stimmt das?
mal zur ersten:
[mm] \bruch{0,5}{z-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2z-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2z} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1- \bruch{1}{z}}
[/mm]
Nun geom. Reihe anwenden und man erhält:
[mm] \bruch{1}{2z} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{z})^k
[/mm]
Diese Reihe konvergiert für |z| > 1
Bei dem zweiten Teil [mm] \bruch{0,5}{z+1} [/mm] bin ich ehrlich gesagt überfragt, weiß nicht wie ich das hinbiegen soll, dass die Reihe für |z|<3 konvergiert...
Bräuchte mal Feedback ob bis jetzt alles korrekt ist.
Danke :)
Grüße Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Fr 05.08.2011 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin Tina!
> Sei D = {z [mm]\in \IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
/ 0<|z-1| < 2} und f: D--> [mm]\IC[/mm] definiert
> durch
>
> f(z) = [mm]\bruch{1}{z^2 - 1}[/mm]
>
> Begründen sie, warum f auf D durch eine eindeutig
> bestimmte Laurentreihe mit Entwicklungspunkt 1 dargestellt
> wird, geben sie diese Laurentreihe an und bestimmen sie das
> Residuum von f in 1.
>
> ich habe mir schonmal ein paar Gedanken dazu gemacht.
>
> Erstmal zum Definitionsbereich: Das ist ja das gleiche wie:
> 1<|z|<3
Nein. Dein Definitionsbereich ist ein echter Kreisring (wobei das Loch in der Mitte Radius 1 hat), waehrend der Definitionsbereich $D$ eine punktierte Kreisscheibe ist. Es fehlt in der Mitte nur ein Punkt bei $z = 1$.
> Die Laurentreihe ist eindeutig, weil f auf dem Kreisring
> mit innerem Radius 1 und äußerem Radius 3 holomorph ist.
> Stimmt das?
Wenn du den Definitionsbereich anpasst, und ihr ein entsprechendes Resultat hattet, sollte es stimmen.
> Dann zur Laurentreihe:
> Erstmal Partialbruchzerlegung:
>
> f(z) = [mm]\bruch{0,5}{z-1}[/mm] - [mm]\bruch{0,5}{z+1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Da du um $z = 1$ entwickeln willst, ist [mm] $\frac{0.5}{z - 1}$ [/mm] schonmal ein Teil der Laurententwicklung.
Du musst jetzt nur noch [mm] $\frac{1}{z + 1}$ [/mm] um $z = 1$ entwickeln. Wenn du [mm] $\frac{1}{z + 1} [/mm] = [mm] -\frac{1}{\frac{1 - z}{2} - 1}$ [/mm] schreibst sollte dir das aber gelingen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Fr 05.08.2011 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | | Wenn du [mm] $\frac{1}{z + 1} [/mm] = [mm] -\frac{1}{\frac{1 - z}{2} - 1}$ [/mm] schreibst sollte dir das aber gelingen. |
Hallo,
danke schonmal für deine erste Hilfe :)
Bist du sicher, dass das das gleiche ist? Ich seh das nicht....Ist da nicht ein Fehler drinnen?
LG
Tina
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Hallo tinakru,
> Wenn du [mm]\frac{1}{z + 1} = -\frac{1}{\frac{1 - z}{2} - 1}[/mm]
> schreibst sollte dir das aber gelingen.
> Hallo,
>
> danke schonmal für deine erste Hilfe :)
>
>
> Bist du sicher, dass das das gleiche ist? Ich seh das
> nicht....Ist da nicht ein Fehler drinnen?
>
Ja, da fehlt noch ein Vorfaktor.
Die richtige Umformumg muß lauten:
[mm]\frac{1}{z + 1} = \red{\bruch{1}{2}}*\left(-\frac{1}{\frac{1 - z}{2} - 1}\right)[/mm]
> LG
> Tina
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Fr 05.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin MathePower,
> Ja, da fehlt noch ein Vorfaktor.
>
> Die richtige Umformumg muß lauten:
danke fuer die Korrektur 
LG Felix
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