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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 08.07.2012 | | Autor: | mathe456 |
Hi,
kann mir jemand erklären, wie man eine Funktion in eine Laurentreihe entwickelt?
Als Beispiel haben wir in der Vorlesung f(z)= [mm] \bruch{1}{(z-1)(z-2)} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{z-1}+ \bruch{1}{z-2} [/mm] gemacht für beispielsweise [mm] A_{0,1} [/mm] (2)
Da blick ich aber irgendwie überhaupt nicht durch...Ich wär auch für andere Beispiele dankbar...Gibts da eine bestimmte Vorgehensweise?
Danke!
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Hallo mathe456,
> Hi,
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> kann mir jemand erklären, wie man eine Funktion in eine
> Laurentreihe entwickelt?
> Als Beispiel haben wir in der Vorlesung f(z)=
> [mm]\bruch{1}{(z-1)(z-2)}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{z-1}+ \bruch{1}{z-2}[/mm]
> gemacht für beispielsweise [mm]A_{0,1}[/mm] (2)
>
Das ist definiert als:
[mm]A_{0,1}\left(2\right):=\left\{z \in \IC \left| \right 0 < \vmat{z-2} < 1 \right\}[/mm]
Demnach musst Du den
[mm]\bruch{-1}{z-1}[/mm] in eine Reihe um z=2 entwickeln.
Den Bruch [mm]\bruch{1}{z-2}[/mm] brauchst Du nicht entwickeln.
> Da blick ich aber irgendwie überhaupt nicht durch...Ich
> wär auch für andere Beispiele dankbar...Gibts da eine
> bestimmte Vorgehensweise?
>
> Danke!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 08.07.2012 | | Autor: | mathe456 |
Ok, [mm] \bruch{1}{z-2} [/mm] muss man nicht entwickeln weil bei z=2 eine Polstelle ist?
Ich weiß aber auch nicht wie man bei [mm] \bruch{-1}{z-1} [/mm] vorgeht...
danke!
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Hallo mathe456,
> Ok, [mm]\bruch{1}{z-2}[/mm] muss man nicht entwickeln weil bei z=2
> eine Polstelle ist?
>
Die Reihe ist schon in der Form [mm]\summe_{k=-\infty}^{\infty}{a_{k}*\left(z-2\right)^{k}}[/mm]
> Ich weiß aber auch nicht wie man bei [mm]\bruch{-1}{z-1}[/mm]
> vorgeht...
>
[mm]\bruch{-1}{z-1}=\bruch{-1}{\left(z-2\right)+1}=\bruch{-1}{1-\left(-1\right)\left(z-2\right)}[/mm]
Und der letzte Ausdruck läßt sich jetzt als geometrische Reihe schreiben.
> danke!
Gruss
MathePower
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