Laurentreihe Eigenschaften < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | [mm] f(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_n*z^n [/mm] , [mm] c_{-1}=0
[/mm]
Ich würde gerne zeigen, dass f eine Stammfunktion besitzt. |
Also [mm] \exists [/mm] F: F'=f
Kann ich das wie folgt machen?
[mm] \integral_{}^{}{f(z) dz}=\summe_{n=-\infty}^{\infty}\integral_{}^{}{c_n*z^n dz}=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_n*(\bruch{z^{n+1}}{n+1})
[/mm]
Gliedweise integrieren darf ich aufgrund gleichmäßiger Konvergenz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Sa 05.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_n*z^n[/mm] , [mm]c_{-1}=0[/mm]
>
> Ich würde gerne zeigen, dass f eine Stammfunktion
> besitzt.
>
> Also [mm]\exists[/mm] F: F'=f
>
> Kann ich das wie folgt machen?
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(z) dz}=\summe_{n=-\infty}^{\infty}\integral_{}^{}{c_n*z^n dz}=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_n*(\bruch{z^{n+1}}{n+1})[/mm]
>
> Gliedweise integrieren darf ich aufgrund gleichmäßiger
> Konvergenz.
Ja
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Lonpos |
Danke für die Bestätigung. Eine Frage hätte ich noch, und zwar wieso die folgende Gleichheit gilt, jedoch unter der Annahme das der Laurentreihenentwicklungssatz noch nicht bewiesen wurde.
[mm] \integral_{|z|=a}^{}{f(z) dz}=2*\pi*i*c_{-1} [/mm] r<a<R
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Sa 05.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo
> Danke für die Bestätigung. Eine Frage hätte ich noch,
> und zwar wieso die folgende Gleichheit gilt, jedoch unter
> der Annahme das der Laurentreihenentwicklungssatz noch
> nicht bewiesen wurde.
>
> [mm]\integral_{|z|=a}^{}{f(z) dz}=2*\pi*i*c_{-1}[/mm] r<a<R
Das ist doch der Residuensatz! Und das Residuum von f in 0 ist gerade der Koeffizient [mm] c_{-1}. [/mm] Also hast du alles was du brauchst auch ohne Laurentreihenentwicklungssatz.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Lonpos |
Ich weiß, dass es das Residuum von f bei [mm] z_0 [/mm] ist, nur wieso schaut es genau so aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich weiß, dass es das Residuum von f bei [mm]z_0[/mm] ist, nur
> wieso schaut es genau so aus?
Die Reihe
$ [mm] f(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_n\cdot{}z^n [/mm] $
darfst Du gliedweise integrieren.
Für n [mm] \ne [/mm] -1 ist das Integral über [mm] c_n\cdot{}z^n [/mm] gleich Null, denn [mm] c_n\cdot{}z^n [/mm] hat auf [mm] \IC [/mm] \ {0} eine Stammfunktion.
FRED
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