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Laurentreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 So 14.06.2009
Autor: steppenhahn

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Hallo!

Ich wollte fragen, wie man überhaupt systematisch eine Laurentreihe mit Konvergenzradius $|z| > 2$ entwickelt.
Da die vorgegebene Funktion bei [mm] $z_{0} [/mm] = -2i$ einen Pol hat, könnte man also um den Nullpunkt entwickeln, dann käme das mit dem Konvergrenzradius hin?
Ich weiß nicht so richtig, was ich machen soll und wäre über Hilfe und eine Anleitung sehr erfreut :-)

Viele Grüße, Stefan.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Laurentreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 So 14.06.2009
Autor: MathePower

Hallo steppenhahn,

> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Hallo!
>  
> Ich wollte fragen, wie man überhaupt systematisch eine
> Laurentreihe mit Konvergenzradius [mm]|z| > 2[/mm] entwickelt.
>  Da die vorgegebene Funktion bei [mm]z_{0} = -2i[/mm] einen Pol hat,
> könnte man also um den Nullpunkt entwickeln, dann käme das
> mit dem Konvergrenzraius hin?


Ja, das kommt hin.

Damit das hinkommt mußt Du das so schreiben:


[mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{\left(z+2i\right)^{2}}=\bruch{1}{z^{2}}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{2i}{z}\right)^{2}}[/mm]


>  Ich weiß nicht so richtig, was ich machen soll und wäre
> über Hilfe und eine Anleitung sehr erfreut :-)
>  
> Viele Grüße, Stefan.


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Laurentreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:11 Mo 15.06.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

Danke für deine Antwort, MathePower!
Ich habe also schonmal

[mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{\left(z+2i\right)^{2}}=\bruch{1}{z^{2}}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{2i}{z}\right)^{2}}[/mm]

Nun soll ich das ja wahrscheinlich in eine geometrische Reihe umwandeln, nur steht da im Nenner das mich störende Quadrat noch drumherum. Das einzige, was ich dann schreiben könnte wäre:

[mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{z^{2}}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{2i}{z}\right)^{2}} = \bruch{1}{z^{2}}*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}\right)^{2}[/mm]

Was mache ich jetzt? Das Cauchy-Produkt anwenden?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.

Bezug
                        
Bezug
Laurentreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Mo 15.06.2009
Autor: MathePower

Hallo steppenhahn,

> Hallo!
>  
> Danke für deine Antwort, MathePower!
>  Ich habe also schonmal
>  
> [mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{\left(z+2i\right)^{2}}=\bruch{1}{z^{2}}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{2i}{z}\right)^{2}}[/mm]
>  
> Nun soll ich das ja wahrscheinlich in eine geometrische
> Reihe umwandeln, nur steht da im Nenner das mich störende
> Quadrat noch drumherum. Das einzige, was ich dann schreiben
> könnte wäre:
>  
> [mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{z^{2}}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{2i}{z}\right)^{2}} = \bruch{1}{z^{2}}*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}\right)^{2}[/mm]
>  
> Was mache ich jetzt? Das Cauchy-Produkt anwenden?


Das siehst Du vollkommen richtig.


>  Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Laurentreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Mo 15.06.2009
Autor: steppenhahn

Also hätte ich dann:

[mm] $f\left(z\right)= \bruch{1}{z^{2}}*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}\right)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{k}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{n}*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k-n}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=-\infty}^{0}\bruch{-(k+1)}{(-2i)^{k}}*z^{k} [/mm] = [mm] \sum_{k=-\infty}^{-2}\bruch{-(k+3)}{(-2i)^{k+2}}*z^{k}$ [/mm]

Ist das so ok ;-) ?

Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.

Bezug
                                        
Bezug
Laurentreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Mo 15.06.2009
Autor: MathePower

Hallo steppenhahn,

> Also hätte ich dann:
>  
> [mm]f\left(z\right)= \bruch{1}{z^{2}}*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}\right)^{2} = \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{k}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{n}*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k-n}\right) = \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k} = \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=-\infty}^{0}\bruch{-(k+1)}{(-2i)^{k}}*z^{k} = \sum_{k=-\infty}^{-2}\bruch{-(k+3)}{(-2i)^{k+2}}*z^{k}[/mm]


Bis hierhin ist alles ok:

[mm]f\left(z\right)= \bruch{1}{z^{2}}*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}\right)^{2} = \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{k}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{n}*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k-n}\right) = \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}[/mm]

Jetzt wird das umgeschrieben:

[mm]\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}=\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-2i\right)^{k}*z^{-k}[/mm]

Definieren wir nun [mm]l:=-k[/mm], so läuft l von [mm]-\infty[/mm] bis 0.

[mm]l=-k \Rightarrow k=-l[/mm]

Dann folgt:

[mm]\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-2i\right)^{k}*z^{-k}=\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{l=-\infty}^{0}(-l+1)*\left(-2i\right)^{-l}*z^{l}=\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{l=-\infty}^{0}\bruch{1-l}{\left(-2i\right)^{l}}*z^{l}[/mm]

[mm]\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{l=-\infty}^{0}(-l+1)*\left(-2i\right)^{-l}*z^{l}=\sum_{l=-\infty}^{0}(-l+1)*\left(-2i\right)^{-l}*z^{l-2}[/mm]


Definieren wir [mm]n:=l-2[/mm] so läuft n von [mm]-\infty[/mm] bis -2.

[mm]n=l-2 \Rightarrow l=n+2[/mm]

So erhalten wir

[mm]\sum_{l=-\infty}^{0}(-l+1)*\left(-2i\right)^{-l}*z^{l-2}=\sum_{n=-\infty}^{-2}(-n-2+1)*\left(-2i\right)^{-n-2}*z^{n}[/mm]

[mm]=\sum_{n=-\infty}^{-2}(-n-1)*\left(-2i\right)^{-n-2}*z^{n}=\sum_{n=-\infty}^{-2}\bruch{-\left(n+1\right)}{\left(-2i\right)^{n+2}}*z^{n}[/mm]


>  
> Ist das so ok ;-) ?
>  
> Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.


Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Laurentreihenentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:44 Di 16.06.2009
Autor: steppenhahn

Vielen Dank für deine Hilfe MathePower, hat mir sehr geholfen !!!
Grüße, Stefan.

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