Laurentreihenentwicklung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(z)=1/(z-1)((1+i)-z)^3
[/mm]
Bestimmen Sie jeweils die Laurent-Reihen von f um z=1+i und z=1 mit ihren maximalen Konvergenzringen. Geben Sie jeweils die Hauptteile der Laurent-Reihe an. |
Hi,
ich hätte eine Frage bezüglich der Laurentreihenentwicklung um z-1. Wie kann ich den Term [mm] 1/((1+i)-z)^3 [/mm] so umformen, dass ich mit Hilfe der geometrischen Reihe in eine Laurentreihe entwickeln kann. Habe schon u.a. Partialbruchzerlegung probiert. Komme aber einfach nicht weiter. Vor allem bereitet mir hier die Potenz die Schwierigkeiten.
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Grüße,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Snowboardgott,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]f(z)=1/(z-1)((1+i)-z)^3[/mm]
> Bestimmen Sie jeweils die Laurent-Reihen von f um z=1+i
> und z=1 mit ihren maximalen Konvergenzringen. Geben Sie
> jeweils die Hauptteile der Laurent-Reihe an.
> Hi,
>
> ich hätte eine Frage bezüglich der
> Laurentreihenentwicklung um z-1. Wie kann ich den Term
> [mm]1/((1+i)-z)^3[/mm] so umformen, dass ich mit Hilfe der
> geometrischen Reihe in eine Laurentreihe entwickeln kann.
> Habe schon u.a. Partialbruchzerlegung probiert. Komme aber
> einfach nicht weiter. Vor allem bereitet mir hier die
> Potenz die Schwierigkeiten.
>
> Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
>
Betrachte den Ausdruck
[mm]\bruch{1}{1+i-z}[/mm]
Entwickle diesen Bruch in eine geometrische Reihe um z=1.
Differenziere diese geometrische Reihe,
so oft, bis Du den obigen Term erhältst.
Das darfst Du aber nur innerhalb des Konvergenzbereiches machen.
> Grüße,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Ich habe nun mein 1/(1+i-z) in die geometrische Reihe
[mm] 1/i*\summe_{i=0}^{\infty} (z-1)^k/i^k [/mm] umgeformt.
Du meintest ich sollte die Reihe do oft differenzieren bis ich auf den obigen Term komme. Welchen Term meinst du genau. Habe die Reihe tatsächlich differenziert, so dass die beiden Potenzen wieder übereinstimmen.
[mm] 1/i*\summe_{i=0}^{\infty}k!/3!*(z-1)^3/i^k
[/mm]
Leider kann ich hier kein Zusammenhang zu [mm] 1/(1+i-z)^3 [/mm] herstellen.
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Hallo Snowboardgott,
> Ich habe nun mein 1/(1+i-z) in die geometrische Reihe
> [mm]1/i*\summe_{i=0}^{\infty} (z-1)^k/i^k[/mm] umgeformt.
>
> Du meintest ich sollte die Reihe do oft differenzieren bis
> ich auf den obigen Term komme. Welchen Term meinst du
> genau. Habe die Reihe tatsächlich differenziert, so dass
> die beiden Potenzen wieder übereinstimmen.
> [mm]1/i*\summe_{i=0}^{\infty}k!/3!*(z-1)^3/i^k[/mm]
>
> Leider kann ich hier kein Zusammenhang zu [mm]1/(1+i-z)^3[/mm]
> herstellen.
Ich meinte den Ausdruck
[mm]\bruch{1}{1+i-z}[/mm]
so oft differenzieren, bist Du einen Ausdruck der Form
[mm]\bruch{1}{\left(1+i-z\right)^{3}}[/mm]
erhältst.
Gruss
MathePower
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[mm]f(z)=1/(z-1)((1+i)-z)^3[/mm][mm] =\bruch{i}{z-1}+\bruch{i}{(1+i-z)}-\bruch{1}{(1+i-z)^2}-\bruch{i}{(1+i-z)^3}
[/mm]
Bei der Partialbruchzerlegung musst du auch kleinere Potenzen von [mm] (1+i-z)^3 [/mm] im Nenner betrachten und für die Koeffizienten auch komplexe Zahlen in Betracht ziehen.
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> [mm]f(z)=1/(z-1)((1+i)-z)^3[/mm]
> Bestimmen Sie jeweils die Laurent-Reihen von f um z=1+i
> und z=1 mit ihren maximalen Konvergenzringen. Geben Sie
> jeweils die Hauptteile der Laurent-Reihe an.
>
> Wie kann ich den Term
> [mm]1/((1+i)-z)^3[/mm] so ......
Hallo,
du hast die Funktion so geschrieben:
> [mm]f(z)=1/(z-1)((1+i)-z)^3[/mm]
Das wäre also: [mm]f(z)=\frac{1}{z-1}*((1+i)-z)^3[/mm]
Gemeint hast du aber vermutlich:
[mm]f(z)=\frac{1}{(z-1)*((1+i)-z)^3[/mm]
Um dies ohne Bruchstrich zu schreiben, wäre ein
zusätzliches Klammerpaar erforderlich:
[mm]f(z)=1/\red{(}(z-1)((1+i)-z)^3\red{)}[/mm]
LG , Al-Chw.
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