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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 So 30.11.2008 | | Autor: | uffisch |
| Aufgabe | | Gib ein Beispiel für Funktionen f, g die Lebesgue-integrierbar sind, so dass fg nicht Lebesgue-integrierbar ist. |
Hallo zusammen,
ich habe eine Lösung der Aufgabe bei folgender URL gefunden:
![[]](/images/popup.gif) Matheplanet
nun verstehe ich aber nicht warum [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] lebesgue-integrierbar sein sollte und [mm] \bruch{1}{x} [/mm] nicht. Und auf
welchen Intervallen ist das der Fall?
Vielen Dank für eure Hilfe,
uffisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gib ein Beispiel für Funktionen f, g die
> Lebesgue-integrierbar sind, so dass fg nicht
> Lebesgue-integrierbar ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe eine Lösung der Aufgabe bei folgender URL
> gefunden:
>
> Matheplanet
>
> nun verstehe ich aber nicht warum [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
> lebesgue-integrierbar sein sollte und [mm]\bruch{1}{x}[/mm] nicht.
Hast du mal versucht, das uneigentliche Integral auszurechnen?
[mm] \int_0^1 \bruch{1}{\wurzel{x}} dx = 2 [/mm] , [mm] \int_0^1 \bruch{1}{x} dx = \infty [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 So 30.11.2008 | | Autor: | uffisch |
Danke für deine Antwort.
Es gilt [mm] \int_0^1 \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] dx = 2, [mm] \int_0^1 \bruch{1}{x} [/mm] dx = [mm] \infty [/mm] das habe ich verstanden.
Und nun kann ich auch argumentieren, dass weil [mm] |\bruch{1}{\wurzel{x}}| [/mm] auf [0,1] uneigentlich Riemann integrierbar ist, auch [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] Lebesgue integrierbar ist auf ganz R oder?
Bei dem anderen Integral leuchtet mir die Sache nicht so ganz ein. Nach Definition des Lebesgue Integrals ist es doch so: Wenn ich eine Hüllreihe [mm] f_{k} [/mm] finde (die eine Treppenfunktion ist und die Bedingung erfüllt dass sie meine Funktion beliebig nah approximiert) und wenn [mm] T_{n}(f) :=\sum c_{k} v(Q_{k}) [/mm] das Volumen unter der Hüllreihe angibt dann ist [mm] lim_{k \to \infty} T_{n} [/mm] gleich dem Lebesgue Integral. Das heißt ich lasse für das Lebesgue
integral auch den Wert [mm] \infty [/mm] zu.
Da ich jetzt mein Lebesgue-Integral nur im Positiven betrachte gilt i.A.:
[mm] \int_{\IR^{n}} [/mm] f = [mm] \int f^{+} [/mm] dx - [mm] \int f^{-} [/mm] dx.
Für den Fall der Integration von 1/x auf [0,1] gibt es nur den positiven Teil. Und der wird gerade [mm] \infty. \infty [/mm] ist aber als wert für das Lebesgue integral zugelassen, solange nicht [mm] \int f^{+} [/mm] dx und [mm] \int f^{-} [/mm] dx beide [mm] \infty [/mm] werden und das ganze Integral irgendwas ganz komisches macht wie bei dem bekannten Beispiel sin x / x. Also müsste doch auch 1/x Lebesgue-integrierbar sein auf [0,1] wenn man z.b. einfach die triviale Fortsetzung auf [mm] \IR [/mm] \ [0,1] zugrunde legt...
Ich habe allgemein ein Problem mit den exakten Termini, da man in der ganzen Lebesgue Theorie ja wohl unterscheidet ob das Lebesgue-Integral einer Funktion existiert (auch [mm] \infty [/mm] zugelassen) oder ob die Funktion integrierbar ist (d.h. endlichen wert hat).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das heißt ich lasse für das
> Lebesgue
> integral auch den Wert [mm]\infty[/mm] zu.
Nein.
In der Definition der Lebesgue-Integrierbarkeit steht, dass das Integral endlich sein muss. Das Lebesgue-Maß kann unendlich sein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 30.11.2008 | | Autor: | uffisch |
In unserem Skript steht folgende Definition wobei [mm] T_{n}(\gamma) [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} v_{n}(Q_{k}) [/mm] vorausgesetzt ist.
4.6. Definition:
* Eine Hüllreihe [mm] \gamma [/mm] von f: [mm] \IR^{n} \to \IC \cup {\infty} [/mm] ist eine Reihe [mm] \gamma [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} c_{k}1_{Q_{k}} [/mm] mit [mm] c_{k} \ge [/mm] 0 und offenen Quadern [mm] Q_{k} [/mm] für die [mm] \gamma \ge [/mm] |f| gilt.
* f besitzt die [mm] L^{1} [/mm] Halbnorm [mm] ||f||_{1} [/mm] := inf( [mm] T_{n}(\gamma) [/mm] | [mm] \gamma [/mm] ist Hüllreihe von f)
*f heißt Lebesgue-integrierbar, wenn es eine Folge von Treppenfunktionen [mm] \gamma_{k} [/mm] mit
[mm] lim_{k \to \infty} [/mm] ||f - [mm] \gamma_{k}||_{1} [/mm] = 0 gibt.
In diesem Fall heißt [mm] lim_{k \to \infty} T_{n}(\gamma_{k}) [/mm] das Lebesgue-Integral von f.
Nun wähle ich f = 1. Dann wähle ich eine Treppenfunktion [mm] \gamma_{k} [/mm] = 1.
Daraus folgt sofort dass [mm] lim_{k \to \infty} ||f-\gamma_{k}||_{1} [/mm] = 0 wird.
D.h. die Funktion ist Lebesgue-integrierbar.
Dann gilt [mm] lim_{k \to \infty} T_{n}(\gamma_{k}) [/mm] = [mm] \infty [/mm] weil die Höhe aller Quader
überall 1 ist. Und das ist nach Definition das Lebesgue Integral. Damit ist das
Lebesgue-Integral unendlich und die Funktion Lebesgue-integrierbar oder nicht?
Vielen Dank für deine Hilfe - macht Spaß :)
Grüße, Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Daniel!
> In unserem Skript steht folgende Definition wobei
> [mm]T_{n}(\gamma)[/mm] := [mm]\sum_{k=1}^{\infty} c_{k} v_{n}(Q_{k})[/mm]
> vorausgesetzt ist.
>
> 4.6. Definition:
>
> * Eine Hüllreihe [mm]\gamma[/mm] von f: [mm]\IR^{n} \to \IC \cup {\infty}[/mm]
> ist eine Reihe [mm]\gamma[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^{\infty} c_{k}1_{Q_{k}}[/mm]
> mit [mm]c_{k} \ge[/mm] 0 und offenen Quadern [mm]Q_{k}[/mm] für die [mm]\gamma \ge[/mm]
> |f| gilt.
>
> * f besitzt die [mm]L^{1}[/mm] Halbnorm [mm]||f||_{1}[/mm] := inf(
> [mm]T_{n}(\gamma)[/mm] | [mm]\gamma[/mm] ist Hüllreihe von f)
>
> *f heißt Lebesgue-integrierbar, wenn es eine Folge von
> Treppenfunktionen [mm]\gamma_{k}[/mm] mit
>
> [mm]lim_{k \to \infty}[/mm] ||f - [mm]\gamma_{k}||_{1}[/mm] = 0 gibt.
>
> In diesem Fall heißt [mm]lim_{k \to \infty} T_{n}(\gamma_{k})[/mm]
> das Lebesgue-Integral von f.
>
>
> Nun wähle ich f = 1.
Auf ganz [mm] $\IR^n$? [/mm] Dann hat sie nicht die angegebene Halbnorm, denn die muss eine reelle Zahl sein.
An dieser Stelle steckt die Bedingung, dass das Integral endlich sein muss.
> Vielen Dank für deine Hilfe - macht Spaß :)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:07 So 30.11.2008 | | Autor: | uffisch |
> Auf ganz $ [mm] \IR^n [/mm] $? Dann hat sie nicht die angegebene Halbnorm, denn die
> muss eine reelle Zahl sein. An dieser Stelle steckt die Bedingung, dass das
> Integral endlich sein muss.
Hmm. Also im Königsberger 2 habe ich gerade den Satz gefunden:
[mm] "||f||_{1} [/mm] ist also für jedes f definiert und ist eine nicht negative Zahl oder
[mm] \infty" [/mm] Das heißt die Halbnorm müsste ja existieren und das integral könnte
wieder [mm] \infty [/mm] werden.
Aber ich glaube ich erahne woran es liegen könnte: In unserem Script
steht nach der Definition die ich dir gerade gegeben habe: "Die Menge der
Lebesgue-integrierbaren Funktionen f: [mm] \IR^{n} \to \IC \cup \infty [/mm] wird mit
[mm] L^{1\sim} [/mm] bezeichnet"
Und dann gibt es noch eine Menge [mm] L^{1} [/mm] := (f: [mm] \IR^{n} \to \IC [/mm] | f [mm] \in L^{1\sim}) [/mm] wo das [mm] \infty [/mm]
für die _Funktion_ nicht mit drin ist.
Und nun habe ich die gleiche Aufgabe in der Form gefunden in der man
zeigen soll das f, g [mm] \in L^{1} [/mm] mit f*g nicht in [mm] L^{1}. [/mm] Das könnte was
ausmachen, wobei ich auch nicht sehe was...
... denn eigentlich ändert das ja nichts an dem Integral. Wenn die Funktion
[mm] \infty [/mm] werden kann, dann macht man das halt zu einer nullmenge...
Naja, ich denke ich habe im wesentlichen alles verstanden, bis auf diesen
einen Punkt, aber ich denk das ist auch ein wenig haarspalterei :) Ich denke
ich kann mich damit zufrieden geben das es einfach nicht
lebesgue-integrabel ist wenn es [mm] \infty [/mm] wird :) - hoffentlich taucht dann nicht
ein Fall auf wo es doch geht ... :)
Vielen Dank für deine Hilfe. Falls du jetzt doch noch was aus meinen informationen siehst wärs toll wenn dus noch schreibst, ansonten muss ich
mich auch mal um die andern aufgaben kümmern sonst komm ich nicht mehr zum Ende :) - aber ich frag auch nochmal unseren Übungsleiter :)
Vielen Dank, Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Di 02.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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