Lebesgue-Integral u. a. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Und noch eine Aufgabe, bei der ich gerne den Lösungsweg verstehen und finden möchte...
Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] (wieder mal [mm] \IR [/mm] mit Querstrich oben drauf) messbar und es gelte [mm] f\in L^1(\IR), [/mm] d. h. [mm] \integral_{\IR}{|f(x)| \mu (dx)} [/mm] sei endlich. Seien nun Mengen [mm] E_n \in [/mm] B(IR), n [mm] \in \IN, [/mm] betrachtet, für die gilt [mm] \mu (E_n) [/mm] \ to 0. Hans Mathechef glaubt nun, dass dann auch gilt
[mm] \integral_{E_n}{|f(x)| \mu (dx)} \to [/mm] 0.
Hat er Recht?
Leider verwirren mich auch hier die ganzen Beträge und Integrale, aber vielleicht muss man hier einfach nur die Sätze von Beppo Levi und Lebesgue anwenden?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi.
Ich bin mir nicht sicher, aber betrachte doch mal die Funktionenfolge
[mm] $f_n(x)= \left\{ \begin{array}{ll}
|f(x)| & \mbox{ für }x\in E_n\\
0 & \textrm{sonst}\\\end{array} \right.$
[/mm]
Ich denke, du kannst auf diese dann gewinnbringend Beppo-Levi anwenden, um tatsächlich die Behauptung zu zeigen.
Edit: Beppo-Levi funktioniert hier wohl doch nicht, siehe dazu den Beitrag von stefan.
Ich hoffe, mich korrigiert jemand, wenn ich Müll erzähle.
Gruß
Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Alles Blödsinn!!! (Stefan)
Hi Philipp!
Die Funktionenfolge ist gut, die wollte ich auch nehmen. Aber der Satz von Beppo Levi? Was ist das bei dir? Ich kenne ihn als Satz von der monotonen Konvergenz, und da sehe ich hier Schwierigkeiten (denn warum sollte die Funktionenfolge monoton sein?). Falls ich was übersehe, korrigiere mich bitte. 
Ich hätte mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz (von der dominierten Konvergenz) argumentiert.
Es ist nämlich [mm] $E:=\bigcap_{n \in \IN} (E_1 \cap E_2 \cap \ldots \cap E_n)$ [/mm] eine [mm] $\mu$-Nullmenge, [/mm] und für alle $x [mm] \in E^c [/mm] = [mm] \bigcup_{n \in \IN} (E_1^c \cup E_2^c \cup \ldots \cup E_n^c)$ [/mm] gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} [/mm] |f(x)| [mm] \cdot 1_{E_n}(x) [/mm] = 0$.
Es gilt also:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} [/mm] |f(x)| [mm] \cdot 1_{E_n}(x) [/mm] = 0$ [mm] $\mu$-fast [/mm] sicher.
Da wir außerdem mit $|f|$ eine Lebesgue-Schranke für die Folge $(|f(x)| [mm] \cdot1_{E_n})_{n \in \IN}$ [/mm] haben, folgt die Behauptung.
Oder mache ich hier jetzt was falsch?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Philipp-ER |
Du hast Recht, ich war fälschlicherweise von [mm] $E_{n+1}\subset E_n$ [/mm] ausgegangen (hatte das von einer ähnlichen Aufgabe so im Kopf), denn in diesem Fall müsste die vorhin definierte Folge ja dann monoton fallend sein. Beppo-Levi funktioniert hier dann wohl wirklich nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Also danke schonmal für die Antwort. Leider komme ich nicht ganz so schnell mit...
> Die Funktionenfolge ist gut, die wollte ich auch nehmen.
> Aber der Satz von Beppo Levi? Was ist das bei dir? Ich
> kenne ihn als Satz von der monotonen Konvergenz, und da
> sehe ich hier Schwierigkeiten (denn warum sollte die
> Funktionenfolge monoton sein?). Falls ich was übersehe,
> korrigiere mich bitte.
Also, die Funktionenfolge habe ich mir jetzt auch schon einmal aufgeschrieben, aber wofür wird sie denn überhaupt gebraucht?
Und Beppo Levi kenne ich auch als Satz von der monotonen Konvergenz...
> Ich hätte mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz (von der
> dominierten Konvergenz) argumentiert.
Der heißt doch auch "von der majorisierten Konvergenz" oder gibt's da noch einen anderen?
> Es ist nämlich [mm]E:=\bigcap_{n \in \IN} (E_1 \cap E_2 \cap \ldots \cap E_n)[/mm]
Wie komme ich denn auf E? Einfach so aus den [mm] E_n [/mm] konstruiert oder wie? Macht man das öfter so?
Und woher weiß ich, dass es eine [mm] \mu [/mm] -Nullmenge ist?
> eine [mm]\mu[/mm]-Nullmenge, und für alle [mm]x \in E^c = \bigcup_{n \in \IN} (E_1^c \cup E_2^c \cup \ldots \cup E_n^c)[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty} |f(x)| \cdot 1_{E_n}(x) = 0[/mm].
Warum gilt das? Weil es eine Nullmenge ist? Wir hatten Nullmenge glaube ich nur so definiert, dass das Maß 0 ist... Und was hat das mit [mm] E^c [/mm] zu tun?
> Es gilt also:
>
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty} |f(x)| \cdot 1_{E_n}(x) = 0[/mm]
> [mm]\mu[/mm]-fast sicher.
Dass das gilt, hat doch was mit der Nullfolge von oben zu tun, oder? Aber ich weiß nur, dass eine Eigenschaft [mm] \mu [/mm] -fast sicher oder -fast überall gilt, wenn sie bis auf einer Nullmenge überall gilt. Irgendwie habe ich da den Zusammenhang zu der Aufgabe noch nicht so ganz gefunden - wir hatten doch [mm] f_n(x)? [/mm]
> Da wir außerdem mit [mm]|f|[/mm] eine Lebesgue-Schranke für die
> Folge [mm](|f(x)| \cdot1_{E_n})_{n \in \IN}[/mm] haben, folgt die
> Behauptung.
Wieso haben wir diese Lebesgue-Schranke?
> Oder mache ich hier jetzt was falsch?
Bist du nur verunsichert, weil jemand anders, etwas anderes vorgeschlagen hat, oder auch so?
Ich finde, das hört sich gut an. Das ist eine schöne Aufgabe, die ich vielleicht auch noch komplett verstehen kann.
Ich hoffe, ich Frage jetzt nicht zu viele dumme Löcher, aber du antwortest mir ja gerne. 
Es hat auch noch ein bisschen Zeit...
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Also, die Funktionenfolge habe ich mir jetzt auch schon
> einmal aufgeschrieben, aber wofür wird sie denn überhaupt
> gebraucht?
Naja, du willst ja zeigen:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n} \vert f\vert d\mu [/mm] = 0$.
Dies bedeutet aber gerade:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \int_{\IR} \vert [/mm] f [mm] \vert \cdot 1_{E_n} d\mu [/mm] = 0$.
Daher ist es doch nur allzu natürlich die Funktionenfolge
[mm] $(\vert [/mm] f [mm] \vert \cdot 1_{E_n})_{n \in \IN}$
[/mm]
zu betrachten, oder?
> Und Beppo Levi kenne ich auch als Satz von der monotonen
> Konvergenz...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Ich hätte mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz (von der
>
> > dominierten Konvergenz) argumentiert.
> Der heißt doch auch "von der majorisierten Konvergenz"
> oder gibt's da noch einen anderen?
Das ist das Gleiche, nur eine andere Bezeichnung. Dieser Satz hat viele verschiedene Namen.
> > Es ist nämlich [mm]E:=\bigcap_{n \in \IN} (E_1 \cap E_2 \cap \ldots \cap E_n)[/mm]
>
> Wie komme ich denn auf E? Einfach so aus den [mm]E_n[/mm]
> konstruiert oder wie? Macht man das öfter so?
Ja, wie soll ich das sagen? Ich will ja eine Nullmenge konstruieren. Theoretisch könnte ich dann auch [mm] $\tilde{E}:= \bigcap_{n \in \IN} E_n$ [/mm] betrachten, nur hätte ich dann ein Problem: Die Mengenfolge wäre nicht antiton d.h. für $n [mm] \le [/mm] m$ würde nicht notwendigerweise [mm] $E_n \supset E_m$ [/mm] gelten, und das war ja auch Philipps Problem. Ich weiß dann nicht automatisch: Wenn mein $x$ im Komplement von einem [mm] $E_n$ [/mm] liegt, dann auch in allen anderen Komplementen von [mm] $E_m$ [/mm] für $m [mm] \ge [/mm] n$. Und so was ist immer übel. Daher mache ich das, was man häufiger in solchen Situationen, es ist ein Standardtrick. Ich schneide einfach [mm] $E_n$ [/mm] mit allen vorherigen [mm] $E_i$ ($i=1,\ldots,n-1$). [/mm] Dann ist klar, dass die Mengen für wachsendes $n$ immer kleiner werden.
> Und woher weiß ich, dass es eine [mm]\mu[/mm] -Nullmenge ist?
Nun, das folgt ja aus der Voraussetzung. Wegen der Stetigkeit des Maßes [mm] $\mu$ [/mm] von unten gilt:
$0 [mm] \le \mu(E) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \mu(E_1 \cap E_2 \cap \ldots \cap E_n) \le \lim\limits_{n \to \infty} \mu(E_n)=0$,
[/mm]
also:
[mm] $\mu(E)=0$.
[/mm]
Der Rest kommt später...
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Weiter geht es:
> > eine [mm]\mu[/mm]-Nullmenge, und für alle [mm]x \in E^c = \bigcup_{n \in \IN} (E_1^c \cup E_2^c \cup \ldots \cup E_n^c)[/mm]
>
> > gilt:
> >
> > [mm]\lim\limits_{n \to \infty} |f(x)| \cdot 1_{E_n}(x) = 0[/mm].
>
> Warum gilt das? Weil es eine Nullmenge ist? Wir hatten
> Nullmenge glaube ich nur so definiert, dass das Maß 0
> ist... Und was hat das mit [mm]E^c[/mm] zu tun?
Ich muss da noch mal drüber nachdenken, irgendetwas stimmt hier nicht...
> wir hatten doch [mm]f_n(x)?[/mm]
Wo hatten wir [mm] $f_n(x)$?
[/mm]
Bei uns ist die Funktionenfolge
[mm] $f_n(x):= [/mm] |f(x)| [mm] \cdot1_{E_n}$.
[/mm]
> Da wir außerdem mit [mm]|f|[/mm] eine Lebesgue-Schranke für die
>
> Folge [mm](|f(x)| \cdot1_{E_n})_{n \in \IN}[/mm] haben, folgt die
>
> > Behauptung.
> Wieso haben wir diese Lebesgue-Schranke?
Es gilt ja:
[mm] $\vert [/mm] f(x) [mm] \cdot 1_{E_n} \vert \le \vert [/mm] f(x) [mm] \vert$
[/mm]
und nach Voraussetzung ist [mm] $\vert [/mm] f [mm] \vert$ [/mm] integrierbar. Das bedeutet doch gerade "Lebesgue-Schranke".
> Bist du nur verunsichert, weil jemand anders, etwas
> anderes vorgeschlagen hat, oder auch so?
Nein, ich war mir sicher. Jetzt macht mir aber gerade die eine Konvergenz zu schaffen, da bin ich gerade verwirrt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Stefan!
Was meinst du mit µ-fast-sicher? ist das sowas wie µ-fast überall?
das hab ich mich schon bei der antwort zu meiner Frage gefragt...
Gruß Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
> Was meinst du mit µ-fast-sicher? ist das sowas wie µ-fast
> überall?
Ja, das ist das Gleiche, nur aus der Sicht des W-Theoretikers.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Micha!
Jetzt kann ich dir auch mal ne Kleinigkeit erzählen, auch wenn deine Frage schon beantwortet ist:
Ich kannte von letztem Jahr auch nur die Bezeichnung "fast-überall", und als der Prof diesmal [mm] "\mu [/mm] -fast sicher" anschrieb, wunderte ich mich - das hörte sich doch sehr seltsam an. Und auch hinter mir überlegten die Studenten schon, wie das denn in den Satz passen sollte, sie wussten nicht, dass es ein feststehender Ausdruck ist. Und dann hat der Prof sich doch umentschieden und stattdessen [mm] \mu [/mm] -fast überall hingeschrieben.
Aber dass das das Gleiche ist, weißt du ja jetzt schon von Stefan!
Viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Micha |
OK, das beruhigt mich und meine analyische Mathematikwelt ist wieder in Ordnung!
Danke Stefan und Christiane!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich denke Hans-Mathechef hat doch nicht Recht, meine Argumentation ist falsch.
Ich muss jetzt nur noch ein Gegenbeispiel finden...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> Also, die Aussage ist falsch!!
Na da bin ich ja froh, dass ich mir nicht deinen ganzen Beweis nochmal so genau angucken und verstehen muss.
> Betrachte die Funktion
>
> [mm]f(x):= \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 1_{(0,1]}[/mm]
>
> und
>
> [mm]E_n:= [\frac{1}{n} - \frac{1}{\sqrt{n}}, \frac{1}{n}][/mm].
>
>
> Dann gilt:
>
> [mm]\mu(E_n) = \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0 \quad (n \to \infty)[/mm]
>
>
> und
>
> [mm]\int\limits_{E_n} \vert f(x)\vert dx \ge \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n}}} \cdot \mu(E_n) = \sqrt{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = 1[/mm].
Komisch, gestern hatte ich glaube ich noch ne Frage hierzu, jetzt scheint mir das eigentlich alles klar zu sein...
Aber doch noch ne Frage:
Wie stellt man sich denn [mm] \int\limits_{E_n} [/mm] vor? Das heißt doch, ich integriere über [mm] E_n [/mm] - aber was genau bedeutet das?
Und wenn du noch ein bisschen Zeit hast:
Hast du den Fehler in deinem Beweis gefunden? Oder wie bist du darauf gekommen, dass die Aussage doch falsch ist? Und wie findet man dann ein Gegenbeispiel?
So, ich glaub', das war's erstmal - vielen Dank.
> Peinlich, peinlich für mich... ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Naja, das weiß ja keiner.
Und schließlich hast du's ja noch selbst gemerkt! *lol*
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Na da bin ich ja froh, dass ich mir nicht deinen ganzen
> Beweis nochmal so genau angucken und verstehen muss.
> Komisch, gestern hatte ich glaube ich noch ne Frage hierzu,
> jetzt scheint mir das eigentlich alles klar zu sein...
> Aber doch noch ne Frage:
> Wie stellt man sich denn [mm]\int\limits_{E_n}[/mm] vor? Das heißt
> doch, ich integriere über [mm]E_n[/mm] - aber was genau bedeutet
> das?
Es bedeutet:
[mm] $\int\limits_{E_n} f\, d\mu [/mm] = [mm] \int\limits [/mm] f [mm] \cdot 1_{E_n}\, d\mu$.
[/mm]
Man schränkt also die Funktion $f$ auf die Menge [mm] $E_n$ [/mm] ein (d.h. man schneidet sie ab) und integriert darüber.
Was dir bekannt vorkommen dürfte, ist folgendes: Eine Funktion $f$ auf [mm] $\IR$ [/mm] sei (uneigentlich) Riemann- und Lebesgue-integrierbar. Dann gilt für $- [mm] \infty [/mm] < a < b < + [mm] \infty$:
[/mm]
[mm] $\int\limits_{[a,b]}f\, d\mu [/mm] = [mm] \int\limits_a^b f(x)\, [/mm] dx$.
> Und wenn du noch ein bisschen Zeit hast:
> Hast du den Fehler in deinem Beweis gefunden? Oder wie
> bist du darauf gekommen, dass die Aussage doch falsch ist?
Nun ja, ich habe gesehen beim Beweis, dass ich plötzlich die gleichen Probleme hatte, die ich vorher bei Philipp bemerkt hatte. Ich dachte ich hätte sie durch die Durchschnittsbildung gelöst, hatte ich aber nicht. (Das hätte ich normalerweise sofort sehen müssen.) Aus $x [mm] \in E^c$ [/mm] konnte ich nicht folgern: $x [mm] \in E_n^c$ [/mm] für alle $n$ ab einem gewissen [mm] $n_0$. [/mm] Das aber hätte ich gebraucht.
> Und wie findet man dann ein Gegenbeispiel?
Tjaaa... das ist schwierig zu erklären. Es ist die mathematisch-analytische Denkweise, die man sich antrainieren muss. Wie soll ich das jetzt beschreiben? Es war klar, dass die Mengen der Mengenfolge nicht ineinander liegen dürfen (denn dafür funktioniert mein Beweis). Weiter ist klar, dass man die Mengen nicht ohne Weiteres ins Unendliche schieben kann (denn sonst wäre die Funktion nicht Lebesgue-integrierbar gewesen). Also kann man versuchen, die Mengen langsam an die Null heranzuschieben und immer kleiner werden zu lassen. Dann braucht man aber eine Funktion, die in der Nähe der $0$ explodiert (und trotzdem integrierbar ist), damit man trotz kleiner werdendem Träger hinreichend große Funktionswerte hat, die das Integral nicht gegen $0$ streben lassen. Dafür eignet sich eben ganz hervorragend die Funktion $f(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{x}}$.
[/mm]
Es ist reine Routine-Sache. Ich habe ein Studium hinter mir, wo ich jeden Tag zwölf Stunden Mathe gemacht habe, mindestens. Vor allem habe ich immer versucht, immer jede Übungsaufgabe selber zu lösen und zudem neben der Vorlesung Bücher zum Thema gelesen. Da lernt man so viele Tricks kennen, dass ich bei so etwas mittlerweile hinreichend viel Intuition entwickelt habe.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > > [mm]f(x):= \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 1_{(0,1]}[/mm]
>
> Woran sehe ich denn, dass diese Funktion in
> [mm]\cal{L}\mbox{^1}[/mm] liegt?
Nun ja, es gilt:
[mm] $f_{\alpha}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{x^{\alpha}} [/mm] = [mm] x^{-\alpha} \in {\cal L}^1((0,1])$
[/mm]
für alle [mm] $0<\alpha [/mm] < 1$ (und bei dir ist [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$, [/mm] denn
[mm] $\int\limits_{\varepsilon}^1 {x^{-\alpha}} [/mm] = [mm] \left[ \frac{1}{-\alpha+1} \cdot x^{-\alpha+1} \right]_{\varepsilon}^1 [/mm] = [mm] \frac{1}{-\alpha+1} \cdot [/mm] (1 - [mm] \varepsilon^{1-\alpha})$,
[/mm]
und der letzte Grenzwert existiert für [mm] $\varepsilon \to [/mm] 0$ (und verschwindet sogar).
> > > und
> > >
> > > [mm]E_n:= [\frac{1}{n} - \frac{1}{\sqrt{n}}, \frac{1}{n}][/mm].
>
> > >
> >
> > >
> > > Dann gilt:
> > >
> > > [mm]\mu(E_n) = \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0 \quad (n \to \infty)[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > und
> > >
> > > [mm]\int\limits_{E_n} \vert f(x)\vert dx \ge \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n}}} \cdot \mu(E_n) = \sqrt{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = 1[/mm].
>
> Und kannst du vielleicht mal das [mm]\ge[/mm] erklären?
Die Funktion $f(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 1_{(0,1]}(x)$ [/mm] ist auf dem Intervall [mm] $E_n$ [/mm] monoton fallend und lässt sich damit von unten gegen den Funktionswert an der rechten Intervallgrenze abschätzen. Dann ziehst du diesen Funktionswert (er ist ja eine Konstante) vor das Integral. Übrig bleibt das Integral der 1-Funktion über die Menge [mm] $E_n$, [/mm] also das Maß der Menge [mm] $E_n$ [/mm] (mal die Konstante).
> Ansonsten habe ich keinen Zweifel daran, dass dieses
> Gegenbeispiel richtig ist und unser Tutor nicht so gut
> korrigiert hat.
Das glaube ich auch. Aber im Gegensatz zu mir solltest du das nicht öffentlich äußern, denn vielleicht korrigiert er Teile deiner Klausur...
Liebe Grüße
Stefan
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