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| Aufgabe | Wir wissen dass gilt [mm] $\int\limits_0^\infty \frac{sin^2(t)}{t^2} [/mm] dt = [mm] \pi/2.$ [/mm] Es sei [mm] $I_n= \int\limits_0^\infty \frac{sin^2(nt)}{t^2+t^3} [/mm] dt.
a) Zeigen Sie, dass $t [mm] \mapsto sin^2(nt)/(t^2+t^3) \in L^1((0,\infty)$. [/mm] Leiten Sie her dass [mm] $I_n$ [/mm] existiert.
b) Es sei [mm] $f_n(t):= \frac{sin^2(t)}{t^2(1+ \frac t n )}$. [/mm] Finden Sie $f [mm] \in L^1(\mathbb [/mm] R^+)$, sodass $| [mm] f_n(x) [/mm] | [mm] \leq [/mm] f(x)$ fast überall.
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ICh find dazu leider keine integrierbare Majorante. Hoffe ihr könnt mir helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir wissen dass gilt [mm]$\int\limits_0^\infty \frac{sin^2(t)}{t^2}[/mm]
> dt = [mm]\pi/2.$[/mm] Es sei [mm]$I_n= \int\limits_0^\infty \frac{sin^2(nt)}{t^2+t^3}[/mm]
> dt.
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]t \mapsto sin^2(nt)/(t^2+t^3) \in L^1((0,\infty)[/mm].
> Leiten Sie her dass [mm]I_n[/mm] existiert.
>
> b) Es sei [mm]f_n(t):= \frac{sin^2(t)}{t^2(1+ \frac t n )}[/mm].
> Finden Sie [mm]f \in L^1(\mathbb R^+)[/mm], sodass [mm]| f_n(x) | \leq f(x)[/mm]
> fast überall.
>
> ICh find dazu leider keine integrierbare Majorante. Hoffe
> ihr könnt mir helfen.
zum Teil a):
Setze mal [mm] $x=x_n=n*t\,,$ [/mm] dann ist doch
[mm] $$\int\limits_0^\infty \frac{sin^2(nt)}{t^2+t^3}dt=\int_0^\infty \frac{\sin^2(x)}{\left(\frac{x}{n}\right)^2+\left(\frac{x}{n}\right)^3}\frac{dx}{n} \le \int_0^\infty \frac{\sin^2(x)}{\left(\frac{x}{n}\right)^2}\frac{dx}{n} \le n*\int_0^\infty \frac{\sin^2(x)}{x^2}dx\,.$$
[/mm]
Damit solltest Du weiter kommen.
Bei Teil b):
Für jedes $t > [mm] 0\,$ [/mm] gilt doch offensichtlich
[mm] $$|f_n(t)|=f_n(t) \le \frac{\sin^2(t)}{t^2}\,.$$
[/mm]
Es wurde da doch (bzgl. beider Aufgabenteile) eine wunderbare Majorante ins Spiel geworfen?!
Beste Grüße,
Marcel
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