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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 So 18.03.2012 | | Autor: | sigmar |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit einer Methode Ihrer Wahl das folgende Lebesgue-Maß:
[mm] \lambda^3(A) [/mm] für die Menge A := {x [mm] \in \IR^3: ||x||_{1} [/mm] < [mm] x_{3} [/mm] < 5} |
Ich habe bereits eine Lösung, bin mir allerdings nich ganz sicher ob sie richtig ist.
Zuerst habe ich die jeweiligen Grenzen bestimmt:
-5 < [mm] x_{1} [/mm] < 5
-5 < [mm] x_{2} [/mm] < 5
0 < [mm] x_{3} [/mm] < 5
Daraus kann ich erkennen, dass es sich bei dem gesuchten Volumen um eine Pyramide handelt. Durch den Satz des Pythagoras komme ich auf die Grundfläche:
[mm] \wurzel{5^2 + 5^2} [/mm] = [mm] \wurzel{50} [/mm] ist eine Seitenlänge, also beträgt die Grundfläche 50.
Dass die Höhe 5 beträgt kann ich direkt ablesen. Also muss ich nur noch in die Formel zur Berechunng der Höhe einer Pyramide einsetzen und erhalte:
1/3 * G * h = 1/3 * 50 * 5 = 250/3
Ist das soweit richtig?
Was ich mich darüber hinaus noch frage ist wie ich hier vorgehen würde wenn ich nicht erkenne, dass es sich um eine Pyramide handelt und die Lösung daher "zu Fuß" ausrechnen muss?
Ich denke ich hätte einen Term der Form: [mm] \integral_{-5}^{5}\integral_{-5}^{5}\integral_{0}^{5}{dx_{3} dx_{2} dx_{1}}
[/mm]
Allerdings ist mir hier nicht klar worüber ich integrieren müsste.
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Hiho,
> A := [mm] $\{x \in \IR^3: ||x||_{1} < x_{3} < 5\}$
[/mm]
so wie du die Menge definiert hast, gilt $A = [mm] \emptyset$ [/mm] und die Aufgabe wäre trivial, da gilt:
[mm] $x_3 \le |x_3| \le |x_1| [/mm] + [mm] |x_2| [/mm] + [mm] |x_3| [/mm] = [mm] ||x||_1$
[/mm]
Wie lautet also die korrekte Menge?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Mo 19.03.2012 | | Autor: | sigmar |
Ah verdammt, das war die fehlerhafte Aufgabe die zuerst gestellt wurde, hatte ich nicht mehr dran gedacht und einfach abgetippt. Das hier ist die korrekte Menge:
A: = {x [mm] \in \IR^3 [/mm] : [mm] ||x||_{1} [/mm] < [mm] 2x_{3} [/mm] < 10}
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Hiho,
> A: = [mm] $\{x \in \IR^3: ||x||_{1}<2x_{3}< 10\}$ [/mm]
> -5 < [mm] x_1 [/mm] < 5
> -5 < [mm] x_2 [/mm] < 5
> 0 < [mm] x_3 [/mm] < 5
dass dieser bereich offensichtlich nicht deiner Menge entspricht, siehst du doch sofort an einem Gegenbeispiel!
> 0 < [mm] x_3 [/mm] < 5
Das stimmt erstmal, auch wenn du noch kurz darlegen solltest, warum [mm] $0
Sei nun also [mm] x_3 [/mm] beliebig aber fest, dann soll für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ja gelten:
[mm] $|x_1| [/mm] + [mm] |x_2| [/mm] < [mm] x_3$
[/mm]
Offensichtlich muss [mm] x_1 [/mm] entweder von [mm] x_2 [/mm] abhängen oder umgekehrt. Die eine Koordinate hängt also nur von [mm] x_3 [/mm] ab, die andere von beiden. (Ich würde [mm] x_1 [/mm] von [mm] x_2 [/mm] abhängig machen, dann kannst du schön von "aussen" nach "innen" integrieren).
Gebe nun also den Bereich von [mm] x_2 [/mm] (in Abhängigkeit von [mm] x_3) [/mm] an, dann den Bereich von [mm] x_1 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3.
[/mm]
Dann nur noch darüber integrieren => fertig.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mo 19.03.2012 | | Autor: | sigmar |
OK, dann habe ich mir folgende Grenzen überlegt:
[mm] |x_2| [/mm] - [mm] x_3 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_3 [/mm] - [mm] |x_2|
[/mm]
[mm] -x_3 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] < [mm] x_3
[/mm]
0 < [mm] x_3 [/mm] < 5
Ich wollte nun über x integrieren, allerdings kommt dann natürlich 0 raus. Worüber muss ich jetzt wirklich integrieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> OK, dann habe ich mir folgende Grenzen überlegt:
>
> [mm]|x_2|[/mm] - [mm]x_3[/mm] < [mm]x_1[/mm] < [mm]x_3[/mm] - [mm]|x_2|[/mm]
> [mm]-x_3[/mm] < [mm]x_2[/mm] < [mm]x_3[/mm]
> 0 < [mm]x_3[/mm] < 5
Das stimmt nicht.
Probiers mal mit dem Prinzip von Cavalierie:
Für [mm] x_3 \in [/mm] [0,5] ist
[mm] A_{x_3}:=\{(x_1,x_2) \in \IR^2: (x_1,x_2,x_3) \in A\}= \{(x_1,x_2) \in \IR^2: x_1^2+x_2^2
Edit: ich hab nicht aufgepasst. Es wird ja die 1-Norm verwendet. Daher:
[mm] A_{x_3}:=\{(x_1,x_2) \in \IR^2: (x_1,x_2,x_3) \in A\}= \{(x_1,x_2) \in \IR^2: |x_1|+|x_2|
Dann ist
[mm] \lambda_3(A)=\integral_{0}^{5}{\lambda_2( A_{x_3}) dx_3}
[/mm]
FRED
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> Ich wollte nun über x integrieren, allerdings kommt dann
> natürlich 0 raus. Worüber muss ich jetzt wirklich
> integrieren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mo 19.03.2012 | | Autor: | sigmar |
Mir ist nicht ganz klar wo bei dir die Quadrate herkommen, hast du dich mit der Norm vertan? In meiner Aufgabe wird doch die 1-Norm verwendet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mir ist nicht ganz klar wo bei dir die Quadrate herkommen,
> hast du dich mit der Norm vertan? In meiner Aufgabe wird
> doch die 1-Norm verwendet.
Auaa ! Du hast recht, da hab ich nicht hingesehen !
Werds korrigieren.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mir ist nicht ganz klar wo bei dir die Quadrate herkommen,
> hast du dich mit der Norm vertan? In meiner Aufgabe wird
> doch die 1-Norm verwendet.
Also:
Für [mm] 0
$ [mm] A_{x_3}:=\{(x_1,x_2) \in \IR^2: (x_1,x_2,x_3) \in A\}= \{(x_1,x_2) \in \IR^2: |x_1|+|x_2|
Dann ist
$ [mm] \lambda_3(A)=\integral_{0}^{5}{\lambda_2( A_{x_3}) dx_3} [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mo 19.03.2012 | | Autor: | sigmar |
Okay nachdem ich mir das ganze mal aufgezeichnet habe, sehe ich natürlich jetzt , dass es sich um eine quadratische Fläche handelt.
Diese Fläche hat auch den Inhalt [mm] 2x_3^2
[/mm]
Durch das Integral [mm] \int_0^5 2x_3^2 dx_3 [/mm] =250/3 wird mir jetzt ja schon einmal bestätigt, dass ich gemometrisch zumindest richtig gerechnet habe.
Nun würde ich noch gerne ausführlicher auf das Ergebnis [mm] 2x_3^2 [/mm] kommen.
Ich hab jetzt doch nochmal mit meinen obigen Grenzen gerechnet und dabei folgendes Integral aufgestellt: [mm] \int_{-x^3}^{x_3}\int_{-x_3+|x_2|}^{x_3-|x_2|}1 dx_1dx_2=2x_3^2 [/mm] womit man dann aufs richtige Ergebnis kommt. Also ist das doch richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay nachdem ich mir das ganze mal aufgezeichnet habe, sehe
> ich natürlich jetzt , dass es sich um eine quadratische
> Fläche handelt.
>
> Diese Fläche hat auch den Inhalt [mm]2x_3^2[/mm]
>
> Durch das Integral [mm]\int_0^5 2x_3^2 dx_3[/mm] =250/3 wird mir
> jetzt ja schon einmal bestätigt, dass ich gemometrisch
> zumindest richtig gerechnet habe.
>
> Nun würde ich noch gerne ausführlicher auf das Ergebnis
> [mm]2x_3^2[/mm] kommen.
> Ich hab jetzt doch nochmal mit meinen obigen Grenzen
> gerechnet und dabei folgendes Integral aufgestellt:
> [mm]\int_{-x^3}^{x_3}\int_{-x_3+|x_2|}^{x_3-|x_2|}1 dx_1dx_2=2x_3^2[/mm]
Das stimmt doch nicht !
FRED
> womit man dann aufs richtige Ergebnis kommt. Also ist das
> doch richtig?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:20 Mo 19.03.2012 | | Autor: | sigmar |
Was genau stimmt denn daran nicht? Das von mir aufgestellte Integral errechnet die von dir bereits angegebenen [mm] 2x_3^2. [/mm] Damit bin ich dann nur noch ein Integral bzw ein Einsetzen in die Pyramidenformel vom gesuchten Ergebnis entfernt.
Oder reden wir gerade aneinander vorbei?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 27.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mo 19.03.2012 | | Autor: | sigmar |
Also sehe ich das richtig, dass ich jetzt [mm] \lambda_2(A_{x_3}) [/mm] berechnen muss?
Nun würde ich das ganze umstellen zu [mm] |x_1|
wodurch dann ja die Grenzen [mm] -x_3
demnach wäre dann doch [mm] \lambda_2(A_{x_3})=\int_{-x_3}^{x_3} \lambda_1(A_{x_3})dx_2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also sehe ich das richtig, dass ich jetzt
> [mm]\lambda_2(A_{x_3})[/mm] berechnen muss?
>
> Nun würde ich das ganze umstellen zu [mm]|x_1|
> wodurch dann ja die Grenzen [mm]-x_3
> werden.
>
> demnach wäre dann doch
> [mm]\lambda_2(A_{x_3})=\int_{-x_3}^{x_3} \lambda_1(A_{x_3})dx_2[/mm]
Das ist Unfug. Schon allein, wenn Du schreibst [mm] \lambda_1(A_{x_3}), [/mm] denn [mm] A_{x_3} [/mm] ist eine Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \lambda_1 [/mm] ist das L._Maß auf [mm] \IR^1
[/mm]
Hast Du Dir mal die Menge [mm] A_{x_3} [/mm] aufgezeichnet ?
Das ist ein offenes Quadrat mit [mm] \lambda_2(A_{x_3})=2x_3^2
[/mm]
Mach Dir das klar !
FRED
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