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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Di 22.10.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | | Es sei L = [mm] \{I_i:i\in\IN\} [/mm] eine abzählbar unendliche Menge von Intervallen in [mm] \IR, [/mm] für die gilt [mm] \summe_{i\in\IN}^{}|I_i|<\infty. [/mm] Zeigen Sie, dass folgende Menge eine Lebesgue-Nullmenge ist: B := [mm] \{x\in\IR : x\in\ I_n \mbox{für unendlich viele n\in\IN}\} [/mm] |
Hallo.
Die Definition eine L-Nullmenge lautet ja: Eine Menge A [mm] \subseteq \IR [/mm] heißt L-Nullmenge, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine abzählbare Menge C von offenen Intervallen in [mm] \IR [/mm] gibt, sodass A [mm] \subseteq \bigcup_{I\in C}^{}I [/mm] und [mm] \summe_{I\in C}^{}|I|< \varepsilon.
[/mm]
Nun habe ich mir gedacht, dass B die Menge ist, die die Elemente der einzelnen in L = [mm] \{I_i:i\in\IN\} [/mm] enthaltenen Intervalle enthält. Wahrscheinlich ist das zu einfach gedacht, aber ich würde tatsächlich L als die Menge der offenen Intervalle nehmen, die B überdeckt, also B [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty}I_i. [/mm] Nun müsste aber ja noch [mm] \summe_{i= 1}^{\infty}|I_i|< \varepsilon [/mm] gelten, die Aufgabenstellung sagt aber nur < [mm] \infty....
[/mm]
Gehe ich die Aufgabe überhaupt richtig an, oder muss ich mir eine Menge konstruieren, die als offene Überdeckung fungieren kann und für die diese Summenungleichung gilt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Zero_112!
> Es sei L = [mm]\{I_i:i\in\IN\}[/mm] eine abzählbar unendliche Menge
> von Intervallen in [mm]\IR,[/mm] für die gilt
> [mm]\summe_{i\in\IN}^{}|I_i|<\infty.[/mm] Zeigen Sie, dass folgende
> Menge eine Lebesgue-Nullmenge ist: B := [mm]\{x\in\IR : x\in\ I_n \mbox{für unendlich viele n\in\IN}\}[/mm]
Sind die Intervalle [mm] $I_i$ [/mm] als offen vorausgesetzt?
> Die Definition eine L-Nullmenge lautet ja: Eine Menge A
> [mm]\subseteq \IR[/mm] heißt L-Nullmenge, wenn es zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 eine abzählbare Menge C von offenen
> Intervallen in [mm]\IR[/mm] gibt, sodass A [mm]\subseteq \bigcup_{I\in C}^{}I[/mm]
> und [mm]\summe_{I\in C}^{}|I|< \varepsilon.[/mm]
Komische Definition, aber da kannst du ja nichts für...
> Nun habe ich mir gedacht, dass B die Menge ist, die die
> Elemente der einzelnen in L = [mm]\{I_i:i\in\IN\}[/mm] enthaltenen
> Intervalle enthält.
Nein, B ist die Menge der in [mm] $I_i$ [/mm] für unendlich viele [mm] $i\in\IN$ [/mm] enthaltenen reellen Zahlen.
> Wahrscheinlich ist das zu einfach
> gedacht, aber ich würde tatsächlich L als die Menge der
> offenen Intervalle nehmen, die B überdeckt, also B
> [mm]\subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty}I_i.[/mm] Nun müsste aber ja
> noch [mm]\summe_{i= 1}^{\infty}|I_i|< \varepsilon[/mm] gelten, die
> Aufgabenstellung sagt aber nur < [mm]\infty....[/mm]
Ja.
> Gehe ich die Aufgabe überhaupt richtig an, oder muss ich
> mir eine Menge konstruieren, die als offene Überdeckung
> fungieren kann und für die diese Summenungleichung gilt?
Letzteres stimmt.
Vorausgesetzt die Intervalle [mm] $I_i$ [/mm] aus der Aufgabenstellung sind als offen vorausgesetzt (sonst wird es etwas komplizierter):
Betrachte auch [mm] $C:=\{I_i\;|\;i\ge n\}$ [/mm] für festes [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
(Du wirst irgendwann benötigen:
Aus der Konvergenz von [mm] $\sum_{i\in\IN}|I_i|$ [/mm] folgt [mm] $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=n}^\infty|I_i|=0$.)
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Di 22.10.2013 | | Autor: | Zero_112 |
Danke schonmal für die Antwort!
> Vorausgesetzt die Intervalle [mm]I_i[/mm] aus der Aufgabenstellung
> sind als offen vorausgesetzt (sonst wird es etwas
> komplizierter):
>
> Betrachte auch [mm]C:=\{I_i\;|\;i\ge n\}[/mm] für festes [mm]n\in\IN[/mm].
>
Dass sie offen sind, steht leider nicht da, aber ich denke mal, dass wir das voraussetzen können.
Ok, [mm] C:=\{I_i\;|\;i\ge n\}. [/mm] Nun müsste ja B [mm] \subseteq \bigcup_{i=n}^{\infty}I_i [/mm] gelten, da B alle [mm] x\in\IR [/mm] enthält, die in abzählbar unendlich vielen [mm] I_i [/mm] liegen. Wenn ich nun abzählbar viele [mm] I_i [/mm] mittels [mm] \bigcup_{i=n}^{\infty}I_i [/mm] vereinige, dürften diese x ja noch immer darin enthalten sein.
> (Du wirst irgendwann benötigen:
> Aus der Konvergenz von [mm]\sum_{i\in\IN}|I_i|[/mm] folgt
> [mm]\lim_{n\to\infty}\sum_{i=n}^\infty|I_i|=0[/mm].)
Daraus folgt dann ja, dass [mm] \sum_{I_i \in C}|I_i|<\varepsilon.
[/mm]
Also ist die Aufgabe gelöst (oder war ich zu schnell?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Di 22.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal für die Antwort!
>
>
> > Vorausgesetzt die Intervalle [mm]I_i[/mm] aus der Aufgabenstellung
> > sind als offen vorausgesetzt (sonst wird es etwas
> > komplizierter):
> >
> > Betrachte auch [mm]C:=\{I_i\;|\;i\ge n\}[/mm] für festes [mm]n\in\IN[/mm].
> >
>
>
> Dass sie offen sind, steht leider nicht da, aber ich denke
> mal, dass wir das voraussetzen können.
Das brauchen wir aber nicht !
>
> Ok, [mm]C:=\{I_i\;|\;i\ge n\}.[/mm] Nun müsste ja B [mm]\subseteq \bigcup_{i=n}^{\infty}I_i[/mm]
> gelten, da B alle [mm]x\in\IR[/mm] enthält, die in abzählbar
> unendlich vielen [mm]I_i[/mm] liegen.
Ja, setzen wir [mm]C_n:=\{I_i\;|\;i\ge n\}[/mm] , so gilt
$B [mm] \subseteq C_n$ [/mm] für jedes n.
Edit: es soll natürlich lauten:
$ [mm] B\subseteq \bigcup_{I\in C_n}I [/mm] $
> Wenn ich nun abzählbar viele
> [mm]I_i[/mm] mittels [mm]\bigcup_{i=n}^{\infty}I_i[/mm] vereinige, dürften
> diese x ja noch immer darin enthalten sein.
>
> > (Du wirst irgendwann benötigen:
> > Aus der Konvergenz von [mm]\sum_{i\in\IN}|I_i|[/mm] folgt
> > [mm]\lim_{n\to\infty}\sum_{i=n}^\infty|I_i|=0[/mm].)
>
> Daraus folgt dann ja, dass [mm]\sum_{I_i \in C}|I_i|<\varepsilon.[/mm]
Möglicherwise meinst Du es richtig. Geben wir ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vor. Dann gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] \sum_{i=m}^\infty|I_i| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Wegen $B [mm] \subseteq C_m$ [/mm] ist alles gezeigt.
Edit: wieder
$ [mm] B\subseteq \bigcup_{I\in C_m}I [/mm] $
FRED
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> Also ist die Aufgabe gelöst (oder war ich zu schnell?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Ja, setzen wir [mm]C_n:=\{I_i\;|\;i\ge n\}[/mm] , so gilt
>
> [mm]B \subseteq C_n[/mm] für jedes n.
[mm] $B\subseteq C_n$ [/mm] ist nicht wörtlich zu verstehen, sondern es ist [mm] $B\subseteq \bigcup_{I\in C_n}I$ [/mm] gemeint.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Di 22.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> > Ja, setzen wir [mm]C_n:=\{I_i\;|\;i\ge n\}[/mm] , so gilt
> >
> > [mm]B \subseteq C_n[/mm] für jedes n.
> [mm]B\subseteq C_n[/mm] ist nicht wörtlich zu verstehen, sondern
> es ist [mm]B\subseteq \bigcup_{I\in C_n}I[/mm] gemeint.
Hallo Tobias,
klar, da hab ich Mist geschrieben. Werds verbessern.
Gruß FRED
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> Viele Grüße
> Tobias
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