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Hallo,
ich hab bei der folgenden Aufgabe ein Problem, ich weiß nicht genau, wie ich den Beweis machen soll. Ich hoffe deshalb, dass mir jemand helfen kann.
Ich soll zeigen, dass für jede L-integrierbare Funktion f: [mm] \IR \to \IC [/mm] die Abb. g: [mm] \IR \to \IC, [/mm] g(k) = [mm] \integral_{\IR} {e^{ikx} f(x) dx} [/mm] stetig und beschränkt ist.
Ich hab zunächst mit der Beschränktheit angefangen.
Ich hab so angefangen:
Da f L-integrierbar ist, gilt [mm] \integral_{\IR} [/mm] { [mm] f_{+} [/mm] d [mm] \lambda} [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] \integral_{\IR} [/mm] { [mm] f_{-} [/mm] d [mm] \lambda} [/mm] < [mm] \infty, [/mm] wobei [mm] f_{+} [/mm] der Positivteil von f und [mm] f_{-} [/mm] der Negativteil ist.
Also ist g(k) = [mm] \integral_{\IR} {e^{ikx} (f_{+}-f_{-})(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{\IR} {e^{ikx} f_{+}(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{\IR} {e^{ikx} f_{-}(x) dx} [/mm] < [mm] \infty, [/mm] weil die Integrale über [mm] f_{+} [/mm] und [mm] f_{-} [/mm] nach Vor. endlich sind und das Integral über die e-Funktion auch.
Aber mein Problem ist, wie finde ich eine geeignete Abschätzung, so dass g(k) beschränkt ist? Ich weiß bis jetzt ja nur, dass es endlich ist.
Und zur Stetigkeit hab ich auch eine Frage. Ich kann kein [mm] \delta [/mm] finden, damit ich zeigen kann das es stetig ist, weil mir das f(x) nicht explizit angegeben ist. Wie kann ich ja sonst vorgehen?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen. Ich komm bei der Aufgabe nicht weiter.
Danke, Milka
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Hallo Milka_Kuh,
ich denke, du kannst die aufgaben relativ kurz beantworten, wenn du dann die richtigen sätze anwenden darfst... 
Also erstmal zur beschränktheit. es gilt
$|g(k)|=| [mm] {\integral_{\IR} {e^{ikx} f(x) dx}}|\le \integral_{\IR} {|e^{ikx}|| f(x)| dx} [/mm] $
Der Exponentialterm hat Betrag $1$ also kannst du die funktion $g$ durch die [mm] $L^1$-Norm [/mm] von $f$ abschätzen. Falls ihr die Hölder-Ungleichung schon hattet, könntest du diesen punkt sehr schnell damit abhaken.
Und stetigkeit: $g$ ist ja als parameter-abhängiges integral definiert, für solche integrale gibt es auch sätze über die stetigkeit. schau mal in deiner vorlesung nach, ob ihr solche sätze hattet. in diesem fall wird sich die aufgabe sehr schnell lösen lassen.
Viele Grüße
Matthias
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Hallo,
danke für deine Antwort. Ich weiß jetzt ungefähr, wie ich das zeigen muss.
Zur Beschränktheit hab ich die Hölder-Ungleichung (lang ist es her ) angewandt, und dann kam am Ende die q-Norm von f heraus:
|g(k)| = | [mm] \integral_{\IR} {e^{ikx} f(x) dx} \le \integral_{\IR} {|e^{ikx}| |f(x)| dx} [/mm] (Dreiecksungleichung) [mm] \le \parallel [/mm] 1 [mm] \parallel_{p} \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{q} [/mm] (Hölder-Ungleichung für Integrale) = [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{q}
[/mm]
Also ist g(k) beschränkt. Stimmt das so?
Leider haben wir den Satz zur Stetigkeit von parameterabhängigen Integralen in der Vorlesung noch nicht behandelt und dürfen den Satz daher nicht anwenden. Ich weiß, aber leider nicht wie ich den Beweis duchzuführen soll mit der üblichen Stetigkeitsdefiniton.
Ich hoffe, du kannst mir weiter helfen.
Danke für deine Hilfe.
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Milka!
Ich verstehe nicht, warum du hier so umständlich mit Hölder operierst. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Warum schätzt du am Schluss nicht direkt durch die [mm] $L^1$-Norm [/mm] ab?
Zum Stetigkeitsproblem: Verwende einfach den Satz von der dominierten (oder majorisierten) Konvergenz (von Lebesgue).
Liebe Grüße
Stefan
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