Lebesgue/ Messbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Di 01.11.2005 | | Autor: | Johman |
Hi habe mal wieder eine Verständnis Frageund wäre begeistert, wenn ihr mir helfen könntet.
Und zwar folgende:
Weshalb gewinnen wir so viele zusätzliche integrierbare Funktionen, wenn wir die Borelmengen benutzen und das Lebesguemass?
Liegt es daran, dass man Funktioenen mit abzählbar vielen Unstetigkeitspunkten dazu nimmt. Die im Lebesgue Mass Nullmengen sind?
Wie wäre dass in folgendem Beispiel:
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] stetig bis auf x=0
Ist diese Funktion damit auch Lebesgueintegrierbar?
Vielen Dank.
Johannes
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Winni |
Hallo !
Ich verstehe zwar nicht viel vom Problem, aber schau 'mal unter http://www.mathe.braunling.de/Integral.htm und http://page.mi.fu-berlin.de/~thaler/pub/Skript%20Stochastik.doc .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Funktion $f(x) = [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] ist auf $(0,1]$ auch nicht Lebesgue-integrierbar, nein.
Es stimmt aber, dass man eine bereits Lebesgue-integrierbare Funktion dadurch nicht "Lebesgue-unintegrierbar"  machen kann, indem man sie auf einer abzählbaren Menge verändert.
Als Beispiel möge die "Dirichletsche Sprungfunktion" auf $[0,1]$ dienen, die den Wert $1$ auf allen rationalen und $0$ auf allen irrationalen Zahlen aus $[0,1]$ annimmt. (Sie wird -um im Bild zu bleiben- praktisch aus der konstanten Nullfunktion gewonnen, indem man die Werte auf den rationalen Zahlen von $0$ in $1$ umändert.)
Diese Funktion ist Lebesgue-integrierbar, aber nicht Riemann-integrierbar.
Solche Beispiele kannst du dir nun in beliebiger Varietät kreieren.
Liebe Grüße
Stefan
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