Lebesgue integrierbar, stetig < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:10 Do 31.10.2013 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | a) Man prüfe, ob [mm] f(x)=x*e^{x} [/mm] Lebesgue integrierbar über [mm] I=[0,\infty) [/mm] ist und bestimme gegebenenfalls das Integral
b) Sei [mm] g(s):=\integral_{0}^{\infty}{e^{-sx^{2}} dx}. [/mm] Man zeige, dass g bei [mm] s_0 [/mm] > 0 stetig ist.
Hinweis (b): Für [mm] h(x)=e^{-cx^{2}} [/mm] mit c>0 darf h [mm] \in L([0,\infty)) [/mm] verwendet werden. Betrachte eine Folge [mm] s_n \to s_0, s_n [/mm] > 0 für alle n und dazu eine Funktionenfolge [mm] f_n(x)=e^{-s_nx^{2}} [/mm] |
zu a)
Wie zeige ich genau, dass die FUnktion Lebesgue integrierbar ist? Habe nur die Idee, dass es irgendwas mit Ausschöpfung zu tun hat, aber keinen Plan wie ich das zeigen soll.
Beim Ausrechnen des Integrals erhalte ich Eins als Ergebnis.
b)
Weiß ich komplett nicht was ich machen soll. Wie komm ich denn zur Stetigkeit bei [mm] s_0?
[/mm]
Der Hinweis, der gegeben wurde, hilft mir auch nicht wirklich weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:02 Do 31.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> a) Man prüfe, ob [mm]f(x)=x*e^{x}[/mm] Lebesgue integrierbar über
> [mm]I=[0,\infty)[/mm] ist und bestimme gegebenenfalls das Integral
> b) Sei [mm]g(s):=\integral_{0}^{\infty}{e^{-sx^{2}} dx}.[/mm] Man
> zeige, dass g bei [mm]s_0[/mm] > 0 stetig ist.
> Hinweis (b): Für [mm]h(x)=e^{-cx^{2}}[/mm] mit c>0 darf h [mm]\in L([0,\infty))[/mm]
> verwendet werden. Betrachte eine Folge [mm]s_n \to s_0, s_n[/mm] > 0
> für alle n und dazu eine Funktionenfolge
> [mm]f_n(x)=e^{-s_nx^{2}}[/mm]
> zu a)
> Wie zeige ich genau, dass die FUnktion Lebesgue
> integrierbar ist?
Obiges f ist nicht L-integrierbar ! Ist vielleicht [mm] f(x)=xe^{-x} [/mm] gemeint ?
> Habe nur die Idee, dass es irgendwas mit
> Ausschöpfung zu tun hat, aber keinen Plan wie ich das
> zeigen soll.
> Beim Ausrechnen des Integrals erhalte ich Eins als
> Ergebnis.
Aha, dann ist wahrscheinlich [mm] f(x)=xe^{-x} [/mm] gemeint.
f ist genau dann L-intbar, wenn [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{f(x) dx} [/mm] ex.
> b)
> Weiß ich komplett nicht was ich machen soll. Wie komm ich
> denn zur Stetigkeit bei [mm]s_0?[/mm]
> Der Hinweis, der gegeben wurde, hilft mir auch nicht
> wirklich weiter.
Die Folge [mm] (g(s_n)) [/mm] ist eine Folge von Integralen. Bemühe einen Konvergenzsatz !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:03 Do 31.10.2013 | | Autor: | Gnocchi |
Ja, genau, es ist gemeint f(x)= [mm] x*e^{-x}.
[/mm]
Dann würde ich den Konvergenzsatz der majorisierten Konvergenz anwenden.
Kann ich dann h als meine Majorante nehmen, oder muss ich mir die noch irendwie basteln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Do 31.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ja, genau, es ist gemeint f(x)= [mm]x*e^{-x}.[/mm]
> Dann würde ich den Konvergenzsatz der majorisierten
> Konvergenz anwenden.
mach mal
> Kann ich dann h als meine Majorante nehmen, oder muss ich
> mir die noch irendwie basteln?
Ein wenig schon ....
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Do 31.10.2013 | | Autor: | Gnocchi |
Also so ganz bekomm ich es nicht hin...
Wir haben ja im Hinweis, dass h [mm] \in L([0,\infty [/mm] )). Zudem unsere Funktionenfolge [mm] f_n.
[/mm]
Diese müsste ja fast überall gegen h konvergieren. [mm] (f_n [/mm] ist auch integrierbar, weil h intergrierbar ist? brauch ich das überhaupt?)
So, das g macht mir nun Probleme, wahrscheinlich weil das als Intergral geschrieben ist.
Der Integrand entspricht ja unserem h, nur mit anderer Variable.
Bilde ich von g die Stammfunktion nach s, erhalte ich:
[mm] \bruch{-e^{-sx^{2}}}{x^{2}}
[/mm]
Ich bräuchte aber ja ne integrierbare Majorante für g oder denke ich da falsch? Ich bezieh mich hier ja überwiegend auf h. Oder wende ich den Konvergenzsatz auf h an und komme so dann zum Ziel?
Da h intergrierbar ist auf [mm] [0,\infty [/mm] )) existiert ja auf alle Fälle das Integral und somit auch g.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Do 31.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also so ganz bekomm ich es nicht hin...
> Wir haben ja im Hinweis, dass h [mm]\in L([0,\infty[/mm] )). Zudem
> unsere Funktionenfolge [mm]f_n.[/mm]
> Diese müsste ja fast überall gegen h konvergieren. [mm](f_n[/mm]
> ist auch integrierbar, weil h intergrierbar ist? brauch ich
> das überhaupt?)
> So, das g macht mir nun Probleme, wahrscheinlich weil das
> als Intergral geschrieben ist.
> Der Integrand entspricht ja unserem h, nur mit anderer
> Variable.
> Bilde ich von g die Stammfunktion nach s, erhalte ich:
> [mm]\bruch{-e^{-sx^{2}}}{x^{2}}[/mm]
> Ich bräuchte aber ja ne integrierbare Majorante für g
> oder denke ich da falsch? Ich bezieh mich hier ja
> überwiegend auf h. Oder wende ich den Konvergenzsatz auf h
> an und komme so dann zum Ziel?
> Da h intergrierbar ist auf [mm][0,\infty[/mm] )) existiert ja auf
> alle Fälle das Integral und somit auch g.
Vergiss es.....
Sei also [mm] (s_n) [/mm] eine Folge mit [mm] s_n [/mm] > 0 für alle n und [mm] s_n \to s_0>0
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] g(s_n) \to g(s_0)
[/mm]
Wir setzen:
$ [mm] f_n(x)=e^{-s_nx^{2}} [/mm] $, und [mm] f(x)=e^{-s_0x^{2}}
[/mm]
[mm] (s_n) [/mm] ist nach unten beschränkt, also ex. ein c>0 mit:
(*) c [mm] \le s_n [/mm] für alle n.
Wir setzen h(x)= [mm] e^{-cx^{2}}.
[/mm]
Nach dem Hinweis darfst Du verwenden: h , f, [mm] f_n [/mm] $ [mm] \in L([0,\infty)) [/mm] $
Zeige:
1. [mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [0, [mm] \infty) [/mm] punktweise gegen f.
2. Es gilt: 0 [mm] \le f_n(x) \le [/mm] h(x) für alle n und alle x [mm] \ge [/mm] 0.
(dazu benutze (*))
3. Aus 1. und 2. folgt das Gewünschte.
FRED
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