Lebesgueintegral Obersumme < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag
Wie in meiner vorherigen Frage bereits erwähnt, beschäftige ich mich mit dem Lebesgue-Integral und den [mm] $L^p$ [/mm] Räumen. Nun habe ich einige Anwendungen studiert, vor allem in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dazu stellt sich mir folgende Frage.
Der Erwartungswert ist definiert als das Integral. Kann ich Lebesgue Integrale mit einer Obersumme abschätzen? Z.b.
Sei $ X $ eine Zufallsvariable, wieso stimmt folgende Ungleichung?
$$ E(|X|) [mm] \le \sum_{i=0}^\infty (i+1)P(i\le [/mm] |X|<(i+1))$$
Folgende Idee hatte ich: Das Lebesgueintegral wurde bei uns über das Supremum von einfachen Funktionen definiert. Es ist klar, dass ich auf [mm] $|X(\omega)|\in[i,i+1)$ [/mm] durch $ (i+1)$ nach oben abschätzen kann. Allerdings frage ich mich, wieso die obige Summe eine einfache Funktion sein soll?
Wieso hat diese Summe nur endlich viele Summanden? Wenn sie das hat, dann weiss ich, dass es sich um eine einfache Funktion [mm] $\phi [/mm] $handelt, mit
$$ |X| [mm] \le \phi$$
[/mm]
Und somit gilt dann auch $ E|X| [mm] \le E\phi =\sum_{i=0}^\infty (i+1)P(i\le [/mm] |X|<(i+1))$
Herzlichen Dank für die Hilfe
Liebe Grüsse
marianne
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> Guten Tag
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> Wie in meiner vorherigen Frage bereits erwähnt,
> beschäftige ich mich mit dem Lebesgue-Integral und den [mm]L^p[/mm]
> Räumen. Nun habe ich einige Anwendungen studiert, vor
> allem in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dazu stellt sich
> mir folgende Frage.
>
> Der Erwartungswert ist definiert als das Integral. Kann ich
> Lebesgue Integrale mit einer Obersumme abschätzen? Z.b.
>
> Sei [mm]X[/mm] eine Zufallsvariable, wieso stimmt folgende
> Ungleichung?
>
> [mm]E(|X|) \le \sum_{i=0}^\infty (i+1)P(i\le |X|<(i+1))[/mm]
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> Folgende Idee hatte ich: Das Lebesgueintegral wurde bei uns
> über das Supremum von einfachen Funktionen definiert. Es
> ist klar, dass ich auf [mm]|X(\omega)|\in[i,i+1)[/mm] durch [mm](i+1)[/mm]
> nach oben abschätzen kann. Allerdings frage ich mich,
> wieso die obige Summe eine einfache Funktion sein soll?
> Wieso hat diese Summe nur endlich viele Summanden? Wenn sie
> das hat, dann weiss ich, dass es sich um eine einfache
> Funktion [mm]\phi [/mm]handelt, mit
>
Der Ansatz ist schon richtig. [mm] \Phi [/mm] hat im allgemeinen abzählbar unendlich viele Summanden, ist aber als Supremum einer monoton wachsenden Folge von einfachen Funktionen [mm] \Phi_n=\min(\Phi,n) [/mm] darstellbar.
> [mm]|X| \le \phi[/mm]
>
> Und somit gilt dann auch [mm]E|X| \le E\phi =\sum_{i=0}^\infty (i+1)P(i\le |X|<(i+1))[/mm]
>
> Herzlichen Dank für die Hilfe
>
> Liebe Grüsse
>
> marianne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Do 29.12.2011 | | Autor: | marianne88 |
Entschuldige, ich weiss leider nicht wie mir dies weiterhelfen soll? Da ich noch etwas ungeübt bin in der Masstheorie entschuldige ich mich für meine Unwissenheit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Do 29.12.2011 | | Autor: | donquijote |
Mir ist jetzt auch nicht ganz klar, man man das direkt mit der Defintion des Integrals am besten zeigen kann.
Normalerweise würde ich so argumentieren: Aus [mm] X\le\Phi [/mm] folgt aus der Monotonie des Integrals [mm] $\int X\le\int\Phi$. [/mm] Fertig. (OK, um ganz korrekt zu sein, müsste man noch die Messbarkeit von [mm] \Phi [/mm] zeigen, was aber nicht schwer ist, da aus der Messbarkeit von X folgt, dass die Mengen [mm] X^{-1}((i,i+1]) [/mm] messbar sind).
Direkt mit der Definition des Integrals als Supremum über das Integral elementarer Funktionen kannst du aber wohl so vorgehen:
Für jede elementare Funktion [mm] \Psi [/mm] mit [mm] \Psi\le [/mm] X gilt auch [mm] \Psi\le\Phi...
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Do 29.12.2011 | | Autor: | marianne88 |
> Mir ist jetzt auch nicht ganz klar, man man das direkt mit
> der Defintion des Integrals am besten zeigen kann.
> Normalerweise würde ich so argumentieren: Aus [mm]X\le\Phi[/mm]
> folgt aus der Monotonie des Integrals [mm]\int X\le\int\Phi[/mm].
> Fertig. (OK, um ganz korrekt zu sein, müsste man noch die
> Messbarkeit von [mm]\Phi[/mm] zeigen, was aber nicht schwer ist, da
> aus der Messbarkeit von X folgt, dass die Mengen
> [mm]X^{-1}((i,i+1])[/mm] messbar sind).
> Direkt mit der Definition des Integrals als Supremum über
> das Integral elementarer Funktionen kannst du aber wohl so
> vorgehen:
> Für jede elementare Funktion [mm]\Psi[/mm] mit [mm]\Psi\le[/mm] X gilt auch
> [mm]\Psi\le\Phi...[/mm]
Dieser Schritt ist mir klar, nur ich sehe noch nicht ein, wieso $ [mm] \phi [/mm] $ eine einfache Funktion sein soll, d.h. nur endlich viele Werte haben soll(resp. die Summe)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Do 29.12.2011 | | Autor: | donquijote |
[mm] \Phi [/mm] muss keine einfache Funktion sein, aber das brauchst du für den Ansatz auch gar nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Do 29.12.2011 | | Autor: | marianne88 |
Ich danke dir für deine Geduld, allerdings verstehe ich nicht wieso $ [mm] \phi [/mm] $ keine einfache Funktion sein muss. Wieso trifft dies zu?
Liebe Grüsse
marianne88
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Do 29.12.2011 | | Autor: | donquijote |
[mm] \Phi [/mm] ist genau dann einfach, wenn X beschränkt ist.
Bei unbeschränktem X nimmt [mm] \Phi [/mm] beliebig große (und damit zwangsläufig unendliche viele verschiedene) ganzzahlige Werte an.
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Guten Tag
Dann stellt sich mir aber doch die Frage, wieso diese Ungleichung gilt? Wieso kann ich ein Lebesgue-Integral, in diesem Falle den Erwartungswert so abschätzen?
Herzlichen Dank für Hilfe zur Lösung meines Problems
Marianne
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Allgemein hat das Lebesgue-Integral die Eigenschaft, monoton zu sein, d.h. aus [mm] X\le [/mm] Y folgt [mm] \int X\le\int [/mm] Y.
Dies ist eine einfache Folgerung aus der Definition: Wenn ihr (für [mm] X\ge [/mm] 0)
[mm] $\int X=\sup\{\int\Phi: \Phi$ einfach und $\Phi\le X\}$ [/mm] definiert habt, so gilt für jede einfache Funktion mit [mm] \Phi\le [/mm] X auch [mm] \Phi\le [/mm] Y.
Daher wird bei [mm] \int [/mm] Y das Supremum über eine größere Menge gebildet und muss daher einen Wert [mm] \ge\int [/mm] X annehmen.
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Guten Tag donquijote
Ich glaube, du verstehst mich falsch. Dieser Punkt ist mir klar, aber wir haben ja
$$ [mm] \phi [/mm] := [mm] \sum_{i=0}^\infty (i+1)\mathbf1_{\{(i\le |X|<(i+1))\}}$$
[/mm]
Dies ist, im Allgemeinen, eine unendliche Summe. Also keine einfache Funktion! Ich weiss, dass $ |X| [mm] \le \phi [/mm] $.
Aber wieso ist,
[mm] $$\int\phi [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^\infty (i+1)P(i\le [/mm] |X|<(i+1))$$
Wenn $ [mm] \phi [/mm] $ eine einfache Funktion ist, ist das per Definition das Integral von $ [mm] \phi$. [/mm] Aber ich weiss ja a priori nicht, dass $ [mm] \phi [/mm] $ eine einfache Funktion ist. Um die Abschätzung zu beweisen, muss ich doch so argumentieren:
Es ist klar, dass $ |X| [mm] \le \phi \Rightarrow \int [/mm] |X| [mm] \le \int \phi [/mm] $ und mittels einer Anwendung von monotoner Konvergenz kann ich Integral und Summe vertauschen:
[mm] $$\int\sum_{i=0}^\infty (i+1)\mathbf1_{\{(i\le |X|<(i+1))\}} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^\infty (i+1)\int\mathbf1_{\{(i\le |X|<(i+1))\}} [/mm] =
[mm] \sum_{i=0}^\infty (i+1)P(i\le [/mm] |X|<(i+1))$$
Sehe ich das richtig?
Nochmals herzlichen Dank für deine Bemühungen!
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> Guten Tag donquijote
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> Ich glaube, du verstehst mich falsch. Dieser Punkt ist mir
> klar, aber wir haben ja
>
> [mm]\phi := \sum_{i=0}^\infty (i+1)\mathbf1_{\{(i\le |X|<(i+1))\}}[/mm]
>
> Dies ist, im Allgemeinen, eine unendliche Summe. Also keine
> einfache Funktion! Ich weiss, dass [mm]|X| \le \phi [/mm].
> Aber
> wieso ist,
>
> [mm]\int\phi = \sum_{i=0}^\infty (i+1)P(i\le |X|<(i+1))[/mm]
>
> Wenn [mm]\phi[/mm] eine einfache Funktion ist, ist das per
> Definition das Integral von [mm]\phi[/mm]. Aber ich weiss ja a
> priori nicht, dass [mm]\phi[/mm] eine einfache Funktion ist. Um die
> Abschätzung zu beweisen, muss ich doch so argumentieren:
>
> Es ist klar, dass [mm]|X| \le \phi \Rightarrow \int |X| \le \int \phi[/mm]
> und mittels einer Anwendung von monotoner Konvergenz kann
> ich Integral und Summe vertauschen:
>
> [mm][/mm][mm] \int\sum_{i=0}^\infty (i+1)\mathbf1_{\{(i\le |X|<(i+1))\}}[/mm]
> = [mm]\sum_{i=0}^\infty (i+1)\int\mathbf1_{\{(i\le |X|<(i+1))\}}[/mm]
> =
> [mm]\sum_{i=0}^\infty (i+1)P(i\le[/mm] |X|<(i+1))[mm][/mm]
>
> Sehe ich das richtig?
ja, das funktioniert. [mm] \Phi [/mm] ist Grenzwert bzw. Supremum einer monotonen Folge von einfachen Funktionen
[mm] \Phi_N=\sum_{i=0}^N... [/mm] und damit gilt auch [mm] \int\Phi=\lim_{N\to\infty}\int\Phi_N=\sup_N\int\Phi_N
[/mm]
>
> Nochmals herzlichen Dank für deine Bemühungen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 29.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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