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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 So 30.10.2005 | | Autor: | YvonneF. |
Hallo!
Ich habe hier eine Aufgabe mit folgenden Angaben:
A := {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : y [mm] \ge [/mm] 0, y-1 < x [mm] \le [/mm] y}
B:= {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] y\ge [/mm] 0, [mm] y
und f(x,y) := "Charakteristische Funktion von A minus Charakteristische Funktion von B". Berechne
[mm] \integral_{\IR} {\integral_{\IR} {f(x,y)dx}dy} [/mm] und [mm] \integral_{\IR} {\integral_{\IR} {f(x,y) dy}dx}
[/mm]
Warum sind die Sätze von Fubini und Tonelli nicht anwendbar?
Wenn ich diese beiden Integrale ausrechne, dann komme ich auf verschiedene Ergebnisse. Der Satz von Fubini sagt, dass die beiden Integrale unter bestimmten Voraussetzungen identisch sind. Nämlich wenn f stetig ist.
Meine Frage: Wie zeige ich, dass die Sätze von Fubini und Tonelli nicht anwendbar sind?
Hinweis: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Funktion
$f(x,y) := [mm] 1_A(x,y) [/mm] - [mm] 1_B(x,y)$
[/mm]
ist nicht nichtnegativ (daher ist Tonelli nicht anwendbar) und nicht über [mm] $\IR^2$ [/mm] Lebesgue-integrierbar (daher ist Fubini nicht anwendbar).
Letzteres zeigst du über
[mm] $\int\limits_{\IR} \int\limits_{\IR} |f(x,y)|\, [/mm] dxdy = + [mm] \infty$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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