Lebesguesches Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Fr 28.05.2010 | | Autor: | fmath |
| Aufgabe | Sei [mm] X:=\{x \in [0,1] \} [/mm] ; x hat in der Dezimaldarstellung keine Ziffer 7
Zeigen Sie dass X messbar ist und dass sein Lebesguesches Maß 0 ist. |
Hallo ihr liebe Math'ler,
Ich hänge seit einige Stunden auf diese Aufgabe und habe immer noch keinen Ansatz. Kann mir Jemand vielleicht helfen? zumindest wo und wie ich anfange sollte.
Danke
Fmath
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Fr 28.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm]X:=\{x \in [0,1] \}[/mm] ; x hat in der Dezimaldarstellung
> keine Ziffer 7
> Zeigen Sie dass X messbar ist und dass sein Lebesguesches
> Maß 0 ist.
> Hallo ihr liebe Math'ler,
>
> Ich hänge seit einige Stunden auf diese Aufgabe und habe
> immer noch keinen Ansatz. Kann mir Jemand vielleicht
> helfen? zumindest wo und wie ich anfange sollte.
>
> Danke
>
> Fmath
Ich würde im ersten Schritt die Menge [0.7,0.8) entfernen.
Dann [0.07,0.08), [0.17,0.18),...,[0.67,0.68),[0.87,0.88) und [0.97,0.98)
und so weiter.
Im ersten Schritt entnimmts Du 0.1 dann 9 * 0.01 dann [mm] 9^2*0.001, [/mm] also insgesamt [mm] \summe 9^{i}(1/10)^{i+1}=1
[/mm]
Du konstruktion läuft abzählbar mit meßbaren Mengen. Das Ergebnis ist also wider meßber.
LG
gfm
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Hiho,
überleg dir mal, wieso gilt:
"x hat an der n-ten Nachkommastelle eine 7" [mm] $\gdw \lfloor x*10^n \rfloor [/mm] - [mm] 10\lfloor x*10^{n-1} \rfloor [/mm] = 7$ und begründe, warum die Menge meßbar ist.
Den Rest schaffst dann bestimmt allein 
MFG,
Gono.
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