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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Fr 19.06.2020 | | Autor: | James90 |
Hallo zusammen,
in einer Übungsklausur steht:
Sei [mm] A\subseteq\IR^d [/mm] messbar, h>0.
Außerdem sei [mm] B=\{(a,t)\in\IR^{d+1}\mid a\in A, t\in[0,h]\}.
[/mm]
Ist dann [mm] \lambda^{d+1}(B)=h\lambda^{d}(A)?
[/mm]
Als Antwort steht: "Ja, das können Sie an einer einfachen Skizze feststellen".
Skizze schön und gut, aber kann man das nicht auch direkt zeigen?
Vielen Dank und viele Grüße
James
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Hiho,
> Skizze schön und gut, aber kann man das nicht auch direkt zeigen?
ja, bspw. mit dem Satz von Fubini.
Es ist [mm] $1_B(a,t) [/mm] = [mm] 1_A(a)1_{[0,h]}(t)$
[/mm]
damit folgt:
[mm] $\lambda^{d+1}(B) [/mm] = [mm] \int_B d\lambda^{d+1} [/mm] = [mm] \int_{\IR^{d+1}} 1_B d\lambda^{d+1} [/mm] = [mm] \int_{R^d} \underbrace{\int_\IR 1_A 1_{[0,h]} d\lambda}_{h} d\lambda^d [/mm] = h [mm] \int_{R^d} 1_A d\lambda^d [/mm] = [mm] h\lambda^d(A)$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Fr 19.06.2020 | | Autor: | James90 |
Hallo Gono!
> Hiho,
>
> > Skizze schön und gut, aber kann man das nicht auch direkt
> zeigen?
> ja, bspw. mit dem Satz von Fubini.
>
> Es ist [mm]1_B(a,t) = 1_A(a)1_{[0,h]}(t)[/mm]
>
> damit folgt:
> [mm]\lambda^{d+1}(B) = \int_B d\lambda^{d+1} = \int_{\IR^{d+1}} 1_B d\lambda^{d+1} = \int_{R^d} \underbrace{\int_\IR 1_A 1_{[0,h]} d\lambda}_{h} d\lambda^d = h \int_{R^d} 1_A d\lambda^d = h\lambda^d(A)[/mm]
Super cool, vielen Dank! 
Bei der nächsten Menge [mm] $C=\{t(a,0)+(1-t)(p,h)\in\IR^{d+1}\mid a\in A, t\in[0,1]\}$, [/mm] wobei [mm] $p\in\IR^d$ [/mm] wird auch die Frage stellt ob [mm] $\lambda^{d+1}(C)=\frac{h\lambda^{d}(A)}{d+1}$ [/mm] ist.
Könnte man hier das auch direkt berechnen?
[mm] 1_C(t(a,0)+(1-t)(p,h))=t*1_A(a)*1_{[0,1]}(t)+(1-t)(p,h)
[/mm]
Dann Aufspaltung durch $[0,1]=[0,h]-[1,h]$? Oder würdest du hier lieber mit [mm] \frac{h\lambda^{d}(A)}{d+1} [/mm] anfangen?
Danke dir nochmal für deine schnelle Antwort!
Viele Grüße
James
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Hiho,
> [mm]1_C(t(a,0)+(1-t)(p,h))=t*1_A(a)*1_{[0,1]}(t)+(1-t)(p,h)[/mm]
Das ist doch Blödsinn.
Links steht eine Funktion, die entweder 1 oder 0 ist, rechts steht was, was 0,t,(1-t) und 1 sein kann.
Kann das gleich sein?
Also: Neuer Ansatz und Integral dann selbst berechnen!
Wie sieht C für den Fall d=1 denn aus?
Gruß,
Gono
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