Lebesque Nullmenge < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Do 21.04.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wenn man zeigen möchte, dass eine einpunktige Menge wie z.B {2} eine Lebesque Nullmenge ist und dazu die Definition mit der abzählbarer Vereinigung von abgeschlossenen Intervallen nimmt, kann man {2}
mit dem Intervall [mm] [2-\bruch{ \varepsilon }{2},2+\bruch{ \varepsilon }{2}] [/mm] überdecken ? Oder muss man eine unendlich abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen Intervallen nehmen?
Also bedeutet das Wort abzählbar in der Definition nur eine unendliche Abzählbarkeit oder darf man auch mit endlich vielen Intervallen eine Überdeckung konstruieren?
Falls nur mit unedlich vielen : welche Intervalle soll man wählen?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:13 Fr 22.04.2011 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
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> wenn man zeigen möchte, dass eine einpunktige Menge wie
> z.B {2} eine Lebesque Nullmenge ist und dazu die Definition
> mit der abzählbarer Vereinigung von abgeschlossenen
> Intervallen nimmt, kann man {2}
> mit dem Intervall [mm][2-\bruch{ \varepsilon }{2},2+\bruch{ \varepsilon }{2}][/mm]
> überdecken ? Oder muss man eine unendlich abzählbare
> Vereinigung von abgeschlossenen Intervallen nehmen?
> Also bedeutet das Wort abzählbar in der Definition nur
> eine unendliche Abzählbarkeit oder darf man auch mit
> endlich vielen Intervallen eine Überdeckung konstruieren?
>
> Falls nur mit unedlich vielen : welche Intervalle soll man
> wählen?
>
>
Ein Maß ist [mm] \sigma\mbox{-additiv}. [/mm]
Ein Maß ist stetig von oben.
Ein Maß entsteht meistens aus der Fortsetzung eines Inhalts mit auf einem Erzeugendensystem, für deren Elemente das Maß dann einfach anzugeben ist.
Es gilt [mm] \emptyset\subseteq\{x\}\subseteq[x-1/n,x+2/n]
[/mm]
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Igor1 |
> > Hallo,
> >
> > wenn man zeigen möchte, dass eine einpunktige Menge wie
> > z.B {2} eine Lebesque Nullmenge ist und dazu die Definition
> > mit der abzählbarer Vereinigung von abgeschlossenen
> > Intervallen nimmt, kann man {2}
> > mit dem Intervall [mm][2-\bruch{ \varepsilon }{2},2+\bruch{ \varepsilon }{2}][/mm]
> > überdecken ? Oder muss man eine unendlich abzählbare
> > Vereinigung von abgeschlossenen Intervallen nehmen?
> > Also bedeutet das Wort abzählbar in der Definition nur
> > eine unendliche Abzählbarkeit oder darf man auch mit
> > endlich vielen Intervallen eine Überdeckung konstruieren?
> >
> > Falls nur mit unedlich vielen : welche Intervalle soll man
> > wählen?
> >
> >
>
> Ein Maß ist [mm]\sigma\mbox{-additiv}.[/mm]
klar
> Ein Maß ist stetig von oben.
klar
> Ein Maß entsteht meistens aus der Fortsetzung eines
> Inhalts mit auf einem Erzeugendensystem, für deren
was meinst Du hier mit dem Inhalt und mit dem Erzeugendensystem?
(Erzeugendensystem ist mir nur in einem Vektorraum bekannt, mit dem Inhalt meinst Du die Integration der Funktion 1 über eine Menge in [mm] \IR^{n} [/mm] (messbare Menge?)
> Elemente das Maß dann einfach anzugeben ist.
>
> Es gilt [mm]\emptyset\subseteq\{x\}\subseteq[x-1/n,x+2/n][/mm]
Inwieweit hilft mir das ? Kannst Du bitte Deine Antwort direkt in Bezug auf meine Frage formulieren (in relativ einfachen Worten) ? Denn mir ist nicht ganz klar worauf hinaus Du willst.
>
> LG
>
> gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Fr 22.04.2011 | | Autor: | gfm |
> > > Hallo,
> > >
> > > wenn man zeigen möchte, dass eine einpunktige Menge wie
> > > z.B {2} eine Lebesque Nullmenge ist und dazu die Definition
> > > mit der abzählbarer Vereinigung von abgeschlossenen
> > > Intervallen nimmt, kann man {2}
> > > mit dem Intervall [mm][2-\bruch{ \varepsilon }{2},2+\bruch{ \varepsilon }{2}][/mm]
> > > überdecken ? Oder muss man eine unendlich abzählbare
> > > Vereinigung von abgeschlossenen Intervallen nehmen?
> > > Also bedeutet das Wort abzählbar in der Definition
> nur
> > > eine unendliche Abzählbarkeit oder darf man auch mit
> > > endlich vielen Intervallen eine Überdeckung konstruieren?
> > >
> > > Falls nur mit unedlich vielen : welche Intervalle soll man
> > > wählen?
> > >
> > >
> >
> > Ein Maß ist [mm]\sigma\mbox{-additiv}.[/mm]
>
> klar
>
> > Ein Maß ist stetig von oben.
>
> klar
>
> > Ein Maß entsteht meistens aus der Fortsetzung eines
> > Inhalts mit auf einem Erzeugendensystem, für deren
>
> was meinst Du hier mit dem Inhalt und mit dem
> Erzeugendensystem?
> (Erzeugendensystem ist mir nur in einem Vektorraum
> bekannt, mit dem Inhalt meinst Du die Integration der
> Funktion 1 über eine Menge in [mm]\IR^{n}[/mm] (messbare Menge?)
> > Elemente das Maß dann einfach anzugeben ist.
> >
> > Es gilt [mm]\emptyset\subseteq\{x\}\subseteq[x-1/n,x+2/n][/mm]
>
> Inwieweit hilft mir das ? Kannst Du bitte Deine Antwort
> direkt in Bezug auf meine Frage formulieren (in relativ
> einfachen Worten) ? Denn mir ist nicht ganz klar worauf
> hinaus Du willst.
> >
> > LG
> >
> > gfm
> >
>
[mm] \lambda(\{x\})=\lambda(\lim [x-1/n,x+1/n])=\lim\lambda([x-1/n,x+1/n])=\lim2/n=0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:55 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wenn ich die Intervalle [mm] [x-\bruch{1}{n},x+\bruch{1}{n}] [/mm] als Überdeckung nehme, wird die Summe der Intervalllängen beliebig klein sein (< [mm] \varepsilon) [/mm] ?
Oder soll die Konstruktion eines Intervalls vom [mm] \varepsilon [/mm] abhängen?
EDIT:
Kann man solche Intervalle nehmen :
[mm] I_{n}:=[x-\bruch{2*\varepsilon}{\pi^{2}*n^{2}},x+\bruch{2*\varepsilon}{\pi^{2}*n^{2}}] [/mm] ?
Dann ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|I_{n}|= \bruch{4*\varepsilon}{\pi^{2}}*
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}= \bruch{2}{3}* \varepsilon [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
(Bemerkung [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}=\bruch{\pi^{2}}{6} [/mm] )
Ist das ok ?
Gruss
Igor
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Sa 23.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> wenn ich die Intervalle [mm][x-\bruch{1}{n},x+\bruch{1}{n}][/mm] als
> Überdeckung nehme, wird die Summe der Intervalllängen
> beliebig klein sein (< [mm]\varepsilon)[/mm] ?
> Oder soll die Konstruktion eines Intervalls vom
> [mm]\varepsilon[/mm] abhängen?
>
>
> EDIT:
> Kann man solche Intervalle nehmen :
> [mm]I_{n}:=[x-\bruch{2*\varepsilon}{\pi^{2}*n^{2}},x+\bruch{2*\varepsilon}{\pi^{2}*n^{2}}][/mm]
> ?
>
> Dann ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|I_{n}|= \bruch{4*\varepsilon}{\pi^{2}}*[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}= \bruch{2}{3}* \varepsilon[/mm]
> < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> (Bemerkung
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}=\bruch{\pi^{2}}{6}[/mm] )
>
> Ist das ok ?
Ja , aber warum so kompliziert ? Nimm
$ [mm] I_{n}:=[x-\bruch{\varepsilon}{2^{n+1}},x+\bruch{\varepsilon}{2^{n+1}}]$
[/mm]
FRED
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>
> Gruss
> Igor
>
>
> Gruss
> Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
stimmt , diese Intervalle sind einfacher .
Danke !
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Also bedeutet das Wort abzählbar in der Definition nur eine unendliche Abzählbarkeit oder darf man auch mit endlich vielen Intervallen eine Überdeckung konstruieren?
Es hindert Dich niemand daran dasselbe Intervall unendlich oft zu wählen. Also kannst Du beliebig viele verschiedene Intervalle hernehmen.
Und außer Ihr habt's ausgeschlossen, ist [2,2] auch ein Intervall.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ein und dasselbe Intervall unendlich oft zu nehmen , habe ich auch gedacht.
Hauptsache , dass dann die Summe der Längen der Intervalle kleiner [mm] \varepsilon [/mm] ist. Darüber werde ich noch Gedanken machen, ob das einfach klappen wird und wie genau dieses Intervall aussehen muss.
Danke für die Antwort !
Gruss
Igor
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