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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Fr 02.11.2012 | | Autor: | sarah88 |
| Aufgabe | Beweisen der Aussage:
A/B=A [mm] \Rightarrow \varnothing \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabenstellung.
Um dies zu beweisen, müsste ich ja wie folgt vorgehen:
Es gelte A/B=A
Es sei x [mm] \in \varnothing
[/mm]
und das geht ja nicht, also wie gehe ich hierbei vor?
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Richtig soll es wohl
[mm]A \setminus B = A \ \ \Rightarrow \ \ A \cap B = \emptyset[/mm]
heißen. Höchstens könnte ich mir noch [mm]A \cap B \subseteq \emptyset[/mm] als Folgerung vorstellen, was aber nur scheinbar weniger aussagt, da ja umgekehrt [mm]\emptyset \subseteq A \cap B[/mm] unabhängig von [mm]A,B[/mm] immer wahr ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen der Aussage:
>
> A/B=A [mm]\Rightarrow \varnothing \subseteq[/mm] A [mm]\cap[/mm] B
wie Leduart schon sagte: Die leere Menge ist immer Teilmenge einer
jeden Menge - das einzusehen ist trivial:
Für alle Elemente der leeren Menge ist zu zeigen, dass diese auch in der
anderen liegen. Da es aber keine Elemente in der leeren Menge gibt, gibt
es auch kein Element, für das etwas zu zeigen wäre!
Meinst Du vielleicht $A [mm] \setminus [/mm] B=A [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap B=\emptyset$?
[/mm]
Falls ja: Es gelte $A [mm] \setminus B=A\,.$ [/mm] Nimm' jetzt halt an, es wäre
$A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not=\emptyset\,.$ [/mm] Dann gibt es ein $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$...
(Oder anders gesagt: Es gibt eine einelementige Teilmenge [mm] $E\,$ [/mm] von
$A [mm] \cap B\,.$ [/mm] Ist also [mm] $E=\{x\}\,,$ [/mm] so folgt aus $E [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$
sofort...)
Der Widerspruch ist dann schnell einsichtig: Einerseits liegt $x [mm] \,$ [/mm] sowohl
in [mm] $A\,$ [/mm] als auch in [mm] $B\,$ [/mm] und damit kann [mm] $x\,$ [/mm] nicht mehr in
$A [mm] \setminus [/mm] B$ sein... aber $A [mm] \setminus [/mm] B$ war doch [mm] $=A\,.$
[/mm]
Siehst Du den Widerspruch?
P.S. Damit Du auch ein bisschen was zu tun hast - und das könnte man
bei Deiner Aufgabe auch verwerten:
Zeige mal, dass $A [mm] \setminus [/mm] B=A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabenstellung.
> Um dies zu beweisen, müsste ich ja wie folgt vorgehen:
>
> Es gelte A/B=A
> Es sei x [mm]\in \varnothing[/mm]
> und das geht ja nicht, also wie
> gehe ich hierbei vor?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Fr 02.11.2012 | | Autor: | sarah88 |
ok das hat mir schon gereicht hehe :)
ich muss tatsächlich A/B=A [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \varnothing
[/mm]
zeigen. Mir war nur nicht klar dass [mm] \varnothing \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B trivial ist :)
danke für die schnelle hilfe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok das hat mir schon gereicht hehe :)
>
> ich muss tatsächlich A/B=A [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\cap[/mm] B =
> [mm]\varnothing[/mm]
> zeigen. Mir war nur nicht klar dass [mm]\varnothing \subset[/mm] A
> [mm]\cap[/mm] B trivial ist :)
das könntest Du auch so zeigen: Angenommen, [mm] $\varnothing \not\subset [/mm] A [mm] \cap B\,.$ [/mm] Dann gibt es ein $x [mm] \in \varnothing$ [/mm] mit $x [mm] \notin [/mm] A [mm] \cap B\,.$
[/mm]
Hier sieht man schon den Widerspruch $x [mm] \in \varnothing$!
[/mm]
> danke für die schnelle hilfe :)
Gerne!
Gruß,
Marcel
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