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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:18 Do 01.12.2011 | | Autor: | fernweh |
| Aufgabe | Es seien die Legendre-Polynome [mm] $P_n:[-1, 1]\to \IR, [/mm] n [mm] \in \IN_0$ [/mm] definiert durch
[mm] $P_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{n}n!}*((x^2-1)^n)^{(n)}$
[/mm]
a) Es ist zu zeigen:
Für x [mm] \in \IR [/mm] gilt:
[mm] $(1-x^2)P_n''(x)-2xP_n'(x)+n(n+1)P_n(x)=0$
[/mm]
Tipp: Berechnen Sie [mm] f^{(n+1)}=((x^2-1)p'(x))^{(n+1)} [/mm] mit [mm] p(x)=(x^2-1)^n [/mm] auf zwei Arten.
b) Leite die Formel her:
[mm] P_{n+1}(x)=xP_n(x)-\bruch{1-x^2}{n+1}P_n'(x) [/mm] |
Hallo zusammen
Also die Teilaufgabe a habe ich hingekriegt, nun aber stecke ich bei b fest und weiss irgendwie nicht recht, wie ich anfangen soll.
Ich weiss, dass ich irgendwie die erste Teilaufgabe umformen soll, d.h. ich soll mit
[mm] $(1-x^2)p^{(n+2)}(x)-2xp^{(n+1)}(x)+n(n+1)p^{(n)}(x)=0$
[/mm]
Ich habe das mal ein bisschen umgeformt, d.h.
[mm] $0=(1-x^2)p^{(n+2)}(x)-2xp^{(n+1)}(x)+n(n+1)p^{(n)}(x)
[/mm]
[mm] =-((x^2-1)p^{(n+2)}(x)+2xp^{(n+1)}(x))+n(n+1)p^{(n)}(x)
[/mm]
[mm] =-[(x^2-1)p^{(n+1)}(x)]'+n(n+1)p^{(n)}(x)
[/mm]
Aber entweder bin ich vollständig auf dem Holzweg, oder ich weiss nicht, wie ich weiter rechnen soll (irgendwie sollten ja am Schluss wohl 3 p's da stehen, damit ich das ganze in die gesuchte Form bringen kann.
Oder wie kann ich im Allgemeinen merken, in welche Richtung ich das umformen soll?
Viele Grüsse
Lukas
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Hallo,
> Es seien die Legendre-Polynome [mm]P_n:[-1, 1]\to \IR, n \in \IN_0[/mm]
> definiert durch
> [mm]P_n(x) = \bruch{1}{2^{n}n!}*((x^2-1)^n)^{(n)}[/mm]
>
> a) Es ist zu zeigen:
> Für x [mm]\in \IR[/mm] gilt:
> [mm](1-x^2)P_n''(x)-2xP_n'(x)+n(n+1)P_n(x)=0[/mm]
> Tipp: Berechnen Sie [mm]f^{(n+1)}=((x^2-1)p'(x))^{(n+1)}[/mm] mit
> [mm]p(x)=(x^2-1)^n[/mm] auf zwei Arten.
>
> b) Leite die Formel her:
> [mm]P_{n+1}(x)=xP_n(x)-\bruch{1-x^2}{n+1}P_n'(x)[/mm]
> Hallo zusammen
>
> Also die Teilaufgabe a habe ich hingekriegt, nun aber
> stecke ich bei b fest und weiss irgendwie nicht recht, wie
> ich anfangen soll.
>
> Ich weiss, dass ich irgendwie die erste Teilaufgabe
> umformen soll, d.h. ich soll mit
> [mm](1-x^2)p^{(n+2)}(x)-2xp^{(n+1)}(x)+n(n+1)p^{(n)}(x)=0[/mm]
>
> Ich habe das mal ein bisschen umgeformt, d.h.
> [mm]$0=(1-x^2)p^{(n+2)}(x)-2xp^{(n+1)}(x)+n(n+1)p^{(n)}(x)[/mm]
> [mm]=-((x^2-1)p^{(n+2)}(x)+2xp^{(n+1)}(x))+n(n+1)p^{(n)}(x)[/mm]
> [mm]=-[(x^2-1)p^{(n+1)}(x)]'+n(n+1)p^{(n)}(x)[/mm]
> Aber entweder bin ich vollständig auf dem Holzweg, oder
> ich weiss nicht, wie ich weiter rechnen soll (irgendwie
> sollten ja am Schluss wohl 3 p's da stehen, damit ich das
> ganze in die gesuchte Form bringen kann.
>
> Oder wie kann ich im Allgemeinen merken, in welche Richtung
> ich das umformen soll?
Ich würde in die Formel für [mm] P_n [/mm] einsetzen und zeigen, dass man auf beiden Seiten dasselbe bekommt.
> Viele Grüsse
>
> Lukas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:58 Sa 03.12.2011 | | Autor: | fernweh |
Hallo
Oke, anderer Versuch, eigentlich habe ich den Eindruck, kann es nicht so schwer sein, das herzuleiten, aber eben ...
Ich habe nun gestartet mit
[mm] $0=(1-x^2)p^{(n+2)}(x)-2xp^{(n+1)}(x)+n(n+1)p^{(n)}(x) [/mm] $
Und umgeformt bis
$ [mm] n(n+1)\cdot{}((x^2-1)^n)^{(n)}=(x)\cdot{}(2((x^2-1)^n)^{(n+1)}) [/mm] - [mm] (\bruch{1-x^2}{n+1})\cdot{}((n+1)((x^2-1)^n)^{(n+2)}) [/mm] $
Und mir gedacht, das hat doch gewisse Ähnlichkeiten mti der Form, die ich zu erreichen habe.
Aber dann müsste ich aus diesen Termen irgendwie die jeweiligen [mm] $P_n(x)$ [/mm] hinkriegen, aber auch das geht irgendwie nicht.
> Ich würde in die Formel für $ [mm] P_n [/mm] $ einsetzen und zeigen, dass man auf beiden Seiten dasselbe bekommt.
Dann komme ich auf [mm] 2((x^2-1)^{n+1})^{(n+1)}=2x(n+1)((x^2-1)^n)^{(n)}-(1-x^2)((x^2-1)^n)^{(n+1)}
[/mm]
Aber auch hier komme ich nicht weiter..
hat mir noch jemand einen kleinen Tipp?
Viele Grüsse
Lukas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 05.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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