Leibniz-Formel,n-te Ableitung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Do 24.01.2008 | | Autor: | Feroxa |
| Aufgabe | Leibnitz-Formel
Es seien f,g: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] n-mal differenzierbare Funktionen. Beweisen Sie induktiv die Leibnizsche Formel für die n-te Ableitung des Produkts f*g:
(f*g)^(n) = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)}g^{(n-k)}.
[/mm]
Hinweis: [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
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Also mal wieder eine Aufgabe die ich nicht kapiere. Mir fehlt hier mal wieder der Ansatz, ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Muss ich [mm] (f*g)^n [/mm] irgendwie so umstellen dass die Summe links rauskommt? und wenn ja wie mach ich das?
Danke schonmal für die viele Hilfe, die ich immer bekomme.
Gruß Feroxa
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Feroxa!
Du sollst diese Aufgabe mittels vollständiger Induktion lösen (siehe auch Hinweis "induktiv").
Dafür musst Du zunächst die Formel für $n \ = \ 1$ zeigen (Induktionsanfang) und anschließend mal den Term $(f*g)^{(n)]$ ableiten (Tipp:  Produktregel), um auf $(f*g)^{(n+1)}$ zu kommen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Feroxa |
Ok also wenn ich für den Induktionsanfang n=1 setze dann steht da
[mm] (f*g)^1 [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{1} \vektor{1 \\ k} f^k \* [/mm] g^(1-k)
muss ich noch k= 0 setzen? weil da ist ja noch nichts gezeigt. Ich hab Probleme mit dem Summenzeichen, das verwirrt mich immer.
Dann die Ableitung:
n [mm] \* (f\*g)^{n-1} \* (f'\*g) [/mm] + [mm] (f\*g')
[/mm]
also äußere [mm] \* [/mm] innere Ableitung. Aber wie komm ich dann auf n+1 kann ich das noch irgendwie zusammenfassen?
oder ist die richtig: n(f*g' + f'*g)^(n-1)
aber das wäre ja dann nicht innere [mm] \* [/mm] äußere Ableitung.
Danke für die Hilfe. Gruß Feroxa
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> Ok also wenn ich für den Induktionsanfang n=1 setze dann
> steht da
>
> [mm](f*g)^1[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{1} \vektor{1 \\ k} f^k \*[/mm] g^(1-k)
>
> muss ich noch k= 0 setzen? weil da ist ja noch nichts
> gezeigt. Ich hab Probleme mit dem Summenzeichen, das
> verwirrt mich immer.
Hallo,
nun mußt Du prügen, ob es stimmt, was da steht. Dazu schreiben wir die Summe mal aus (- wenn Dich das Summenzeichen jetzt, am Ende des Semsters immer noch verwirrt, solltest Du unbedingt dieses Theama nacharbeiten.):
> [mm](f*g)^1[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{1} \vektor{1 \\ k} f^k \*[/mm] g^(1-k)
[mm] =\vektor{1 \\ 0} f^{(0)} \*g^{(1-0)} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1} f^{(1)} \*g^{(1-1)}
[/mm]
= [mm] f^{(0)} \*g^{(1)} [/mm] + [mm] f^{(1)} \*g^{(0)}.
[/mm]
Also richtig. (Warum? Was steht da?)
Wenn ich mir das, was Du weiter schreibst anschaue, bin ich mir nicht ganz sicher, ob Du die Induktion richtig verstanden hast. (Falls ich hier richtig liege: unbedingt nacharbeiten.)
Unter der Voraussetzung, daß
> (f*g)^(n) = $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)}g^{(n-k)}. [/mm] $ richtig ist für alle n muß nun gezeigt werden:
Induktionsschluß: Es ist [mm] (f*g)^{(n+1)} [/mm] = $ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} f^{(k)}g^{(n+1-k)}. [/mm] $.
Du startest nun mit [mm] (f*g)^{(n+1)} [/mm] und formst dies unter Verwendung der Voraussetzung so um, daß am Ende das gewünschte Ergebnis dasteht.
Für den Start fielen mit zwei Möglichkeiten ein:
A. [mm] (f*g)^{(n+1)}= ((f*g)^{(n)})'= [/mm] jetzt für [mm] (f*g)^{(n)} [/mm] die Ind. vor. verwenden
B. [mm] (f*g)^{(n+1)}= ((f*g)')^{(n)}= (f'g+fg')^{(n)}= (f'g)^{(n)}+(fg')^{(n)} [/mm] und nun die Ind. vor. für (f'g) und (fg'). (Hier verwendet man, daß [mm] (F+G)^{(n)} [/mm] = [mm] (F)^{(n)}+(G)^{(n)} [/mm] )
Ich habe nicht durchgerechnet, welcher Weg bequemer und funktionstüchtiger ist. (Ich denke, der zweite.)
Ums Spielen mit den Summen wirst Du jedenfalls nicht heraumkommen.
Ich finde es bei solchen Aufgeban immer hilfreich, die Sache zunächst mal konkret durchzuführen, z.B. für [mm] (f*g)^{(4+1)}.
[/mm]
>
> Dann die Ableitung:
>
> n [mm]\* (f\*g)^{n-1} \* (f'\*g)[/mm] + [mm](f\*g')[/mm]
> also äußere [mm]\*[/mm] innere Ableitung.
Ist Dir eigentlich klar, daß [mm] f^{(n)} [/mm] die n-te Ableitung bezeichnet und nicht etwas die Funktion f n-mal mit sich selbst multipliziert?
Gruß v. Angela
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