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Hallo,
ich soll feststellen, ob die gegebene Reihe (absolut) konvergiert oder divergiert.
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k}^{} (-1)^{k} \frac{k!}{k^{k}}
[/mm]
Mein Gedanke: Ich würde hier gerne das Leibniz-Kriterium anwenden. Würde ja genau passen. [mm] a_{n} [/mm] ist eine alternierende Reihe und [mm] |a_{n}| [/mm] ist - so vermute ich - eine monoton fallende Nullfolge.
Monoton fallend kann ich ja per Induktion nachweisen. Aber wie weise ich nach, dass [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \frac{k!}{k^{k}} [/mm] eine Nullfolge ist?
Ist mein Ansatz überhaupt vom Gedanken her richtig?
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Hallo abi2007LK,
an sich ist das Leibnitz-Kriterium der rechte Weg, aber wenn ich mich recht erinnere, folgt aus absoluter Konvergenz doch "normale" Konvergenz ...
Und die absolute Konvergenz ist mit dem Quotientenkriterium in Windeseile gezeigt, da musst du dir dann keine Gedanken mehr machen, wie du zeigst, dass [mm] $\left(\frac{k!}{k^k}\right)_{k\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist
Zumindest nicht im Rahmen dieser Aufgabe 
LG
schachuzipus
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Hallo,
ich habe mal das Quotientenkriterium angewandt:
[mm] \frac{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
= [mm] \frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} [/mm]
= [mm] \frac{(k+1)! k^{k}}{(k+1)^{k+1} k!}
[/mm]
= [mm] \frac{k! (k+1) k^{k}}{(k+1)^(k+1) k!}
[/mm]
= [mm] \frac{(k+1) k^{k}}{(k+1)^{k+1}}
[/mm]
Und nun? :(
Nachtrag: Kann es sein, dass man diese Reihe mit dem Majorantenkriterium angehen muss?
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Hallo,
> Hallo,
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> ich habe mal das Quotientenkriterium angewandt:
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> [mm]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]
> = [mm]\frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{\red{k!}}{\red{k^k}}}[/mm]
> = [mm]\frac{(k+1)! k^{k}}{(k+1)^{k+1} k!}[/mm]
> = [mm]\frac{k! (k+1) k^{k}}{(k+1)^{k+1} k!}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> = [mm]\frac{(k+1) k^{k}}{(k+1)^{k+1}}[/mm]
Schreibe im Nenner [mm] $(k+1)^{k+1}=(k+1)\cdot{}(k+1)^k$
[/mm]
Dann kannst du $k+1$ kürzen, und es bleibt
[mm] $\frac{k^k}{(k+1)^k}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^k$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $k\to\infty$ [/mm] gegen ...
>
> Und nun? :(
>
>
> Nachtrag: Kann es sein, dass man diese Reihe mit dem
> Majorantenkriterium angehen muss?
Das kann man bestimmt auch, aber mit dem QK kürzt sich so viel raus, dass es damit schneller und einfacher geht
LG
schachuzipus
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Hallo,
danke. Das Ganze konv. also absolut gegen [mm] e^{-1} [/mm] - richtig?
Noch eine Frage:
[mm] \left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^k
[/mm]
Diese Umformung habe ich schon so oft gesehen - aber ich kann sie mir nicht "herleiten". Wie kommst du auf diese Umformung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mi 12.12.2007 | | Autor: | zetamy |
> Hallo,
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> danke. Das Ganze konv. also absolut gegen [mm]e^{-1}[/mm] -
> richtig?
Ja, richtig. Zwar mit einem Fehler, da im Nenner k+1 statt k steht, aber der wird im Unendlichen, unendlich klein.
Zu deiner Frage:
[mm]\left(\frac{k}{k+1}\right)^k = \left(\frac{k\overbrace{+1-1}^{=0}}{k+1}\right)^k = \left(\frac{k+1}{k+1}+\frac{-1}{k+1}\right)^k = \left(1-\frac{1}{k+1}\right)^k[/mm]
Gruß, zetamy
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Hi,
ne kleine Anmerkung:
> Hallo,
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> danke. Das Ganze konv. also absolut gegen [mm]e^{-1}[/mm] -
> richtig?
Hmm, das ist etwas ungenau:
es konvergiert [mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{e}<1$
[/mm]
Damit ist deine Reihe nach dem QK absolut konvergent, also insbesondere auch konvergent
Wogegen die Reihe konvergiert, steht in den Sternen oder auf nem anderen Blatt, aber das war ja auch nicht gefragt
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> Noch eine Frage:
>
> [mm]\left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^k[/mm]
>
> Diese Umformung habe ich schon so oft gesehen - aber ich
> kann sie mir nicht "herleiten". Wie kommst du auf diese
> Umformung?
LG
schachuzipus
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