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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 15.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k} * 3k}{2+4k+8k^{2}} [/mm] |
Hallo,
aus der obigen Aufgabe ist ersichtlich, dass das Leibnizkriterium
angewendet werden kann, soll, muss...
Das habe ich auch versucht... nun stehe ich aber fest, weil ich nicht weiß, wie es weiter geht, weil ich es nicht umsetzen kann...
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^{k} * 3k}{2+4k+8k^{2}} [/mm] = [mm] (-1)^{k} [/mm] * [mm] \bruch{3k}{4k(1+2k)+2} [/mm] = - [mm] \bruch{3}{14} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7} [/mm] - [mm] \bruch{9}{86} [/mm] + [mm] \bruch{12}{146} [/mm] ....
wir sondern Partialsummen-Teilfolgen für gerade und ungerade Indicies aus
[mm] c_{n} [/mm] := [mm] s_{2n-1} [/mm] (ungerade Indicies) [mm] d_{n} [/mm] := [mm] s_{2} [/mm] (gerade Indicies)
Wir zeigen, dass durch
[mm] I_{n} [/mm] = [mm] [c_{n}, d_{n}] [/mm] eine Intervallschachtelung gegeben ist.
Es gilt nämlich für alle n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] c_{n} \le d_{n} \limes_{n\rightarrow\infty} (d_{n} [/mm] - [mm] c_{n}) [/mm] = 0
das wir wie folgt nachrechnen... und hierzu verstehe ich kein einziges Wort...
Wäre toll, wenn mir jemand anhand dieser Aufgabe zeigt, wie man da mit dem Leibnizkriterium die Konvergenz der Reihe zeigt...
Vielen Dank im Voraus
Gruß Doreen
Frage in keinen anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 So 15.01.2006 | | Autor: | taura |
Hallo Doreen!
Du denkst viel zu kompliziert! Das Leibniz-Kriterium besagt folgendes:
Sei [mm] $\left(a_k\right)$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge, dann ist die Reihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*a_k$ [/mm] konvergent.
Was du also zeigen musst, ist lediglich dass die Folge [mm] $a_k=\br{3k}{2+4k+8k^{2}}$ [/mm] monoton fällt und gegen 0 konvergiert.
Dann ist deine Reihe konvergent. 
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob man der Grenzwert so beweisen kann, damit es passt und beim monoton fallend, keine Ahnung...
Wäre toll, wenn du/jemand mir sagen könnte, ob das so passt...
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{3k}{8k^{2} +4k + 2} [/mm] = 3*
[mm] \bruch{k}{k*(8k +4 +\bruch{2}{k}} [/mm] =...= [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * [mm] \bruch{3}{8} [/mm] + [mm] \bruch{4}{k}+ \bruch{2}{k^{2}}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k} [/mm] = 0 wg. Grenzwertsätze
gilt auch für [mm] \bruch{4}{k} [/mm] und [mm] \bruch{2}{k^{2}}
[/mm]
dann folgt für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k} [/mm] * [mm] \bruch{3}{8+ \bruch{4}{k}}+ \bruch{2}{k^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * [mm] \bruch{3}{8} [/mm] = 0
kann man das so machen?
wie ist das mit dem Monoton fallend?
Vielen Dank für Hilfe und Antwort
Gruß
Doreen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mo 16.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Doreen,
zum Gernzwert:
Der Grundgedanke ist richtig, allerdings scheint mir, dass Du die Summe im Nenner auf mehrere Brüche aufteilst - grobes Foul! Nachdem Du den Faktor 1/k rausgezogn hast hast Du aber einen Bruch mit endlichen Grenzwerten im Zähler und Nenner, da müsste man nach den Grenzwertsätzen doch einfach den Limes für Zähler und Nenner getrennt bilden können.
Zur Monotonie:
Wenn man zeigen will, dass eine Folge monoton fallend ist bildet man im zweifelsfall einfach mal die Differenz [mm] (a_k [/mm] - [mm] a_{k+1}) [/mm] zweier Folgenglieder und untersucht, ob die [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Probier das doch einfach mal!
Tipp: mach Dir keinen Kopf wegen einem geeigneten Hauptnenner: Verwende einfach das Produkt der beiden Nenner, aber spare Dir das Ausrechnen, denn dass der [mm] \ge [/mm] 0 ist sieht man ja!
Gruß
piet
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