Lemma.Reihe.Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Beweisen SIe:
Sei [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] eine konvergente alternierende Reihe dann | [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty} a_k| \le |a_{n+1}| [/mm] |
Hallo ;)
Meine ANsätze:
Sei o.B.d.A
[mm] a_0 [/mm] > 0 (geraden Indizes pos, ungeraden Indizes neg)
[mm] |a_{n+1}| \le |a_n|
[/mm]
[mm] a_0 [/mm] + [mm] (a_1 +a_2) +(a_3+a_4)...
[/mm]
[mm] (a_1 +a_2)\le [/mm] 0
[mm] (a_3+a_4)\le [/mm] 0
...
[mm] (a_0 [/mm] + [mm] a_1) +(a_2 +a_3)+...
[/mm]
[mm] (a_0 [/mm] + [mm] a_1) \ge [/mm] 0
[mm] (a_2 +a_3) \ge [/mm] 0
...
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Hallo Lu-,
> Beweisen SIe:
> Sei [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm] eine konvergente
> alternierende Reihe dann | [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty} a_k| \le |a_{n+1}|[/mm]
Was soll hier alternierende Reihe bedeuten? Soll das heißen, dass die Partialsummen [mm] s_n=\sum_{k=0}^n a_k [/mm] abwechselnd größer und kleiner als der Grenzwert der Reihe sind?
EDIT: Dachte zuerst an einen Beweis zum Leibnitzkriterium, deswegen lag die Antwort wohl daneben.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 So 08.01.2012 | | Autor: | Lu- |
ah okay. Danke
In meinen Skriptum steht ein Teil zu dem Lemma:
(*)Partialsummen geraden Index sind monoton steigend
Partialsummen ungeraden Indesx sind monoton fallend
Verstehen Sie, was damit gemeint ist=?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 So 08.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Edit: Mehr als die Angabe hab ich auch nicht ;)
Wie gesagt im SKriptum steht der obige Tipp (*)
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:55 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ah okay. Danke
unter einer alternierenden Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] versteht man normalerweise, dass die [mm] $a_k$ [/mm] abwechselnd [mm] $\ge 0\,$ [/mm] und [mm] $\le 0\,$ [/mm] sind. Also
[mm] $$a_k=(-1)^k|a_k|$$
[/mm]
oder
[mm] $$a_k=(-1)^{k+1}|a_k|$$
[/mm]
für alle [mm] $k\,.$
[/mm]
> In meinen Skriptum steht ein Teil zu dem Lemma:
> (*)Partialsummen geraden Index sind monoton steigend
> Partialsummen ungeraden Indesx sind monoton fallend
Naja: Die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] liefert [mm] $a_k \to 0\,.$ [/mm] Es könnte schon analoges zum Leibnizkriterium geben: In ![[]](/images/popup.gif) Analysis-Skript, S.54 siehst Du etwa, dass dort [mm] $(s_{2n})_n$ [/mm] monoton fällt.
ABER:
Oben steht - im Gegensatz zu den Voraussetzungen des Leibnizkriteriums - nirgends etwas über das Monotonieverhalten von [mm] $(|a_k|)_k\,.$ [/mm]
(Das Leibnizkriterium kann man auch so formulieren: Ist [mm] $\sum a_k$ [/mm] eine alternierende Reihe und [mm] $(|a_k|)_k$ [/mm] eine monotone Nullfolge (d.h. eine monoton fallende Nullfolge), so konvergiert die Reihe [mm] $\sum a_k\,.$)
[/mm]
Ich glaube, ehrlich gesagt, dass da etwas in der Aufgabenstellung fehlt. Das habe ich mir aber noch nicht wirklich überlegt - d.h., falls ich Recht habe, muss ich mir noch ein Gegenbeispiel überlegen, andernfalls werden wir sicher irgendwann einen Beweis hinbekommen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:58 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Lu-,
> > Beweisen SIe:
> > Sei [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm] eine konvergente
> > alternierende Reihe dann | [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty} a_k| \le |a_{n+1}|[/mm]
>
> Was soll hier alternierende Reihe bedeuten?
normalerweise, dass eine der beiden Gleichungen
[mm] $$a_k=(-1)^k |a_k| \text{ für alle }k$$
[/mm]
oder
[mm] $$a_k=(-1)^{k+1}|a_k| \text{ für alle }k$$
[/mm]
gilt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 08.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich hab dazu nochwas in einen anderen Skript gefunden:
Partialsummen geraden Index sind monoton steigend
Partialsummen ungeraden Index sind monoton fallend.(*)
[mm] S_{2k} \ge S_{\infty} \ge S_{2k+2}
[/mm]
[mm] |S_{\infty} [/mm] - [mm] S_n| \le |S_{n+1} -S_n| [/mm] = [mm] |a_{n+1}|
[/mm]
Zwei aufeinanderfolgende Partialsummen unterscheiden sich durch [mm] |a_{n+1} [/mm] |
Wie gesagt verstehe ich die Aussagen (*) nicht und weiß nicht woher sie kommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hab dazu nochwas in einen anderen Skript gefunden:
>
> Partialsummen geraden Index sind monoton steigend
> Partialsummen ungeraden Index sind monoton fallend.(*)
>
> [mm]S_{2k} \ge S_{\infty} \ge S_{2k+2}[/mm]
> [mm]|S_{\infty}[/mm] - [mm]S_n| \le |S_{n+1} -S_n|[/mm]
> = [mm]|a_{n+1}|[/mm]
> Zwei aufeinanderfolgende Partialsummen unterscheiden sich
> durch [mm]|a_{n+1}[/mm] |
>
> Wie gesagt verstehe ich die Aussagen (*) nicht und weiß
> nicht woher sie kommen.
ich hab's mir auch noch nicht überlegt, was sie genau bedeuten und woher sie kommen. Aber wenn wirklich
[mm] $$S_{2k} \ge S_{\infty} \ge S_{2k+2}$$
[/mm]
gilt, dann sind doch eh fast alle [mm] $S_{2k}=S_\infty:$
[/mm]
Daraus folgt nämlich
[mm] $$S_2 \ge S_\infty \ge S_4 \ge S_\infty \ge S_6 \ge S_\infty \ge S_8 \ge \ldots$$
[/mm]
Also
[mm] $$S_\infty=S_4=S_6=\ldots$$
[/mm]
(Denn: $a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] a$ ist äquivalent zu [mm] $x=a\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:56 So 08.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Es tut ma leid, ich hab mich im letzten Post verschrieben!!
$ [mm] S_{2k} \ge S_{\infty} \ge S_{2k+1} [/mm] $
2k+1 natürlich im Index, sry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es tut ma leid, ich hab mich im letzten Post
> verschrieben!!
> [mm]S_{2k} \ge S_{\infty} \ge S_{2k+1}[/mm]
>
> 2k+1 natürlich im Index, sry
dann nehme ich an:
"Partialsummen geraden Index" ist nichts anderes als die Folge [mm] $(S_{2k})_{k \in \IN_0}$ [/mm] und
"Partialsummen ungeraden Index" ist nichts anderes als die Folge [mm] $(S_{2k+1})_{k \in \IN_0}\,.$
[/mm]
Das passt auch zu den Bezeichnungen im Skript, wo ich Dir den Link geschickt habe. Nur, dass Deine Partialsummen anders definiert sein müßten.
Zudem: Steht da wirklich nichts über Monotonie von [mm] $(|a_n|)_{n \in \IN_0}$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 10.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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