Lemma von DuBois-Reymond < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Fr 16.05.2014 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Ich versuche grade den Beweis zu folgenden Lemma zu verstehen:
Sei I=[a,b], [mm] \mathring{I}=(a,b), f\inC^0(I) [/mm] und
(1) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)\varphi'(x) dx}=0 [/mm] für alle [mm] \varphi\in C^1_c(\mathring{I})
[/mm]
Dann folgt [mm] f(x)\equiv [/mm] const. |
Der Beweis sieht nun wie folgt aus.
Wir wählen Punkte [mm] a_1,b_1,a_2,b_2\in \IR [/mm] mit [mm] a
Dann konstruieren wir eine Funktion [mm] \varphi\in C^1(I) [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
(i) [mm] \varphi(x)\equiv [/mm] 1 auf [mm] [b_1,a_2];
[/mm]
(ii) [mm] \varphi(x)\equiv [/mm] 0 auf [mm] [a,a_1]\cup [b_2,b];
[/mm]
(iii) [mm] \varphi'(x) [/mm] > 0 in [mm] (a_1,b_1), \varphi'(x)<0 [/mm] in [mm] (a_2,b_2)
[/mm]
Diese Funktion ist eine zulässige Testfunktion für (1), und wegen [mm] \varphi'(x)\equiv [/mm] 0 auf [mm] [a,a_1]\cup [b_1,a_2]\cup [b_2,b] [/mm] folgt
(2) 0= [mm] \integral_{a_1}^{b_1}{f(x)\varphi'(x) dx}+\integral_{a_2}^{b_2}{f(x)\varphi'(x) dx}
[/mm]
Hier ist mein erstes Problem, warum sollte das gelten?
Ich meine nur weil die Ableitung einer Funktion Null ist, muss doch das Integral nicht Null sein. Wieso also gilt die Gleichung bei (2) ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Na, du kannst das Integral doch in 5 Teilintegrale aufteilen, genau wie dein Intervall [a,b] aufgeteilt ist. Auf 3 dieser Summanden ist [mm] \varphi' [/mm] aber 0, also verschwinden diese 3 Summanden und übrig bleibt Gleichung 2.
Das gilt doch z.B. wegen [mm] \integral_{a}^{a_1}{f(x)\varphi'(x) dx}=\integral_{a}^{a_1}{f(x)0 dx}=\integral_{a}^{a_1}{0 dx}=0.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Sa 17.05.2014 | | Autor: | hippias |
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> (2) 0= [mm]\integral_{a_1}^{b_1}{f(x)\varphi'(x) dx}+\integral_{a_2}^{b_2}{f(x)\varphi'(x) dx}[/mm]
>
> Hier ist mein erstes Problem, warum sollte das gelten?
>
Dass das Integral $0$ ergibt, ist doch die Voraussetzung (fuer alle gilt [mm] $\int\ldots [/mm] = 0$).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Frosch20 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi vielen dank, da war ich wohl etwas blind :S
Ich bin nun etwas weiter im Beweis, der wie folgt weiter geht:
Wir sind zuletzt bei folgenden Integral stehen geblieben:
0= $ 0= $ \integral_{a_1}^{b_1}{f(x)\varphi'(x) dx}+\integral_{a_2}^{b_2}{f(x)\varphi'(x) dx} $}+\integral_{a_2}^{b_2}{f(x)\varphi'(x) dx} $
Nun wird gesagt:
Wir erhalten für geeignete Punkte \xi_1\in (a_1,b_1), \xi_2\in (a_2,b_2) die Gleichung:
\integral_{a_1}^{b_1}{f(x)\varphi'(x) dx}=f(\xi_1)\integral_{a_1}^{b_1}\varphi'(x)dx
\integral_{a_2}^{b_2}{f(x)\varphi'(x) dx}=f(\xi_2)\integral_{a_2}^{b_2}\varphi'(x)dx
Dann folgt:
0=f(\xi_1)-f(\xi_2).
Bis hierhin komme ich noch mit. Nun wird aber gesagt:
Mit b_1\to a_1+0 und b_2\to a_2+0 folgt \xi_1\to a_1 und \xi_2\to a_2 und wir bekommen:
f(a_1)=f(a_2) \forall a_1,a_2 \in (a,b) mit a_1<a_2
woraus letztendlich die Behauptung folgt.
Warum wird nun b_1\to a_1 + 0 betrachtet und woher kommt die 0?
Könnte ich nich acuh a_1\to b_1 betrachten?
Also da die funktion \varphi(x) stetig im offenen Intervall ist dürfte eine Grenzwert betrachtung eigentlich keine großen probleme machen, ich dachte schon das wir vll einfach einen punkt etwas weiter rechts, also
a_1+\frac{1}{n} betrachten wofür es eben gegen a_1 gehen würde nur macht das in meinen Augen grade nicht so richtig Sinn.
mfg. Lé Frog
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Sa 17.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Dann folgt:
>
> [mm]0=f(\xi_1)-f(\xi_2).[/mm]
>
> Bis hierhin komme ich noch mit. Nun wird aber gesagt:
>
> Mit [mm]b_1\to a_1+0[/mm] und [mm]b_2\to a_2+0[/mm] folgt [mm]\xi_1\to a_1[/mm] und
> [mm]\xi_2\to a_2[/mm] und wir bekommen:
>
> [mm]f(a_1)=f(a_2) \forall a_1,a_2 \in[/mm] (a,b) mit [mm]a_1
>
> woraus letztendlich die Behauptung folgt.
>
> Warum wird nun [mm]b_1\to a_1[/mm] + 0 betrachtet
Weil das die Behauptung beweist.
> und woher kommt
> die 0?
Welche?
> Könnte ich nich acuh [mm]a_1\to b_1[/mm] betrachten?
Ja.
>
> Also da die funktion [mm]\varphi(x)[/mm] stetig im offenen Intervall
> ist dürfte eine Grenzwert betrachtung eigentlich keine
> großen probleme machen, ich dachte schon das wir vll
> einfach einen punkt etwas weiter rechts, also
>
> [mm]a_1+\frac{1}{n}[/mm] betrachten wofür es eben gegen [mm]a_1[/mm] gehen
> würde nur macht das in meinen Augen grade nicht so richtig
> Sinn.
>
> mfg. Lé Frog
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Frosch20 |
> > Warum wird nun [mm]b_1\to a_1[/mm] + 0 betrachtet
> Weil das die Behauptung beweist.
> > und woher kommt
> > die 0?
> Welche?
Ich meine die bei
[mm] b_1\to a_1+0 [/mm] <- diese 0 verwirrt mich etwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Sa 17.05.2014 | | Autor: | hippias |
Dies ist eine ganz uebliche Schreibweise fuer den Grenzwert [mm] $b\to [/mm] a$, wobei zusaetzlich $b>a$ gilt. [mm] $b\to [/mm] a-0$ ist dementsprechend [mm] $b\to [/mm] a$ mit $b<a$. Du findest dies in Analysis-Lehrbuechern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Frosch20 |
Achso wir hatten das bislang immer anders geschrieben (mithilfe von Konvrgenz pfeilen nach oben bzw. unten), vielen dank für deine Hilfe,
mfg. Lé Frog :)
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